Resolva as seguintes edo:
y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=t \operatorname{sen}(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' + 9y' = t\sin(t).
O que precisamos é encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução homogênea y_h (resolvendo o lado esquerdo igualado a zero) e de uma particular y_p que satisfaça a não homogeneidade t\sin(t).

Passo 2

Para y_h resolvemos a equação característica associada a
y''' + 9y' = 0:
colocando y=e^{rt}, obtemos
r^3 + 9r = r\,(r^2+9)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm 3i. Logo
y_h(t) = C_1 + C_2\cos(3t) + C_3\sin(3t).

Passo 3

Como o termo independente é t\sin(t) (polinômio de grau 1 vezes \sin), e não há ressonância com as raízes \pm3i, fazemos o ansatz por coeficientes a determinar:
y_p(t) = (a t + b)\sin(t) + (c t + d)\cos(t).

Passo 4

Calculamos y_p', y_p'' e y_p'''. Agrupando em termos de \sin(t) e \cos(t) e somando
y_p'''+9y_p'
obtemos, após organizar coeficientes em t\sin(t), \sin(t), t\cos(t), \cos(t), o sistema
\begin{cases} -8c = 1,\\\\ 6a - 8d = 0,\\\\ 8a = 0,\\\\ 8b + 6c = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema:
8a=0\implies a=0,\quad -8c=1\implies c=-\tfrac18,
6\cdot0-8d=0\implies d=0,\quad 8b+6(-\tfrac18)=0\implies b=\tfrac{3}{32}.

Passo 6

Substituindo em y_p, temos
y_p(t)=\Bigl(0\cdot t+\tfrac{3}{32}\Bigr)\sin(t)+\Bigl(-\tfrac18\,t+0\Bigr)\cos(t) =\tfrac{3}{32}\sin(t)-\tfrac{1}{8}\,t\cos(t).

Passo 7

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1 + C_2\cos(3t)+C_3\sin(3t)+\tfrac{3}{32}\sin(t)-\tfrac{1}{8}\,t\cos(t).

Resposta

y(t)=C_1 + C_2\cos(3t)+C_3\sin(3t)+\frac{3}{32}\sin(t)-\frac{1}{8}\,t\cos(t).

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