Resolva as seguintes edo: y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=t \operatorname{sen}(t).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' + 9y' = t\sin(t).
O que precisamos é encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução homogênea y_h (resolvendo o lado esquerdo igualado a zero) e de uma particular y_p que satisfaça a não homogeneidade t\sin(t).
Passo 2
Para y_h resolvemos a equação característica associada a
y''' + 9y' = 0:
colocando y=e^{rt}, obtemos
r^3 + 9r = r\,(r^2+9)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm 3i. Logo
y_h(t) = C_1 + C_2\cos(3t) + C_3\sin(3t).
Passo 3
Como o termo independente é t\sin(t) (polinômio de grau 1 vezes \sin), e não há ressonância com as raízes \pm3i, fazemos o ansatz por coeficientes a determinar:
y_p(t) = (a t + b)\sin(t) + (c t + d)\cos(t).
Passo 4
Calculamos y_p', y_p'' e y_p'''. Agrupando em termos de \sin(t) e \cos(t) e somando
y_p'''+9y_p'
obtemos, após organizar coeficientes em t\sin(t), \sin(t), t\cos(t), \cos(t), o sistema