Resolva as seguintes edo:
y^{(4)}+24 y^{(2)}+9 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem a coeficientes constantes
y^{(4)} + 24\,y'' + 9\,y = 0.
O método consiste em assumir uma solução do tipo y = e^{r x} e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo y=e^{r x}, temos
r^4 + 24\,r^2 + 9 = 0
que é a equação característica.

Passo 3

Para resolver
r^4 + 24\,r^2 + 9 = 0
fazemos a substituição m = r^2, obtendo a equação quadrática
m^2 + 24\,m + 9 = 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em m^2 + 24\,m + 9 = 0, temos
m = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 - 36}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{540}}{2} = -12 \pm 3\sqrt{15}.

Passo 5

Portanto as duas soluções para m são
m_1 = -12 + 3\sqrt{15}, \quad m_2 = -12 - 3\sqrt{15}.
Como ambas são negativas, escrevemos
m_1 = -\bigl(12 - 3\sqrt{15}\bigr), \quad m_2 = -\bigl(12 + 3\sqrt{15}\bigr),
e as raízes r são
r = \pm i\,\sqrt{12 - 3\sqrt{15}}, \quad r = \pm i\,\sqrt{12 + 3\sqrt{15}}.

Passo 6

Como são pares de raízes puramente imaginárias \pm i\,\omega_1 e \pm i\,\omega_2, com
\omega_1 = \sqrt{12 - 3\sqrt{15}}, \quad \omega_2 = \sqrt{12 + 3\sqrt{15}},
a solução geral é
y(x) = A\cos(\omega_1 x) + B\sin(\omega_1 x) + C\cos(\omega_2 x) + D\sin(\omega_2 x),
onde A,B,C,D são constantes de integração.

Resposta

y(x) = A\cos\bigl(\sqrt{12 - 3\sqrt{15}}\;x\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{12 - 3\sqrt{15}}\;x\bigr) + C\cos\bigl(\sqrt{12 + 3\sqrt{15}}\;x\bigr) + D\sin\bigl(\sqrt{12 + 3\sqrt{15}}\;x\bigr).

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