Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a solução geral da EDO. Não foram fornecidas condições iniciais (PVI), então vamos achar apenas a solução geral. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona diferenciais
e com os fatores e . - Para manipular a equação será necessário dividir por
e por ou ; isso impõe atenção ao caso ou .
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação na forma de derivada
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo um intervalo onde isso é válido) obtemos
Agora isolamos
:
Observação importante: ao dividir por
estamos assumindo momentaneamente
. O caso
é uma solução trivial que será contemplada depois.
Passo 3
A equação
é separável: podemos agrupar todos os termos com
num lado e os com
no outro. Dividindo por
(assumindo
neste passo) e multiplicando por
obtemos
Explicando a técnica: separar variáveis significa escrever a equação de modo que uma integral dependa só de
e a outra só de
, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos ambos os lados da igualdade. As integrais são as integrais usuais de
e
:
Calculando,
onde
é a constante de integração. Aqui usei a regra
.
Passo 5
Agora resolvemos para
. Exponenciando ambos os lados:
Como
, podemos escrever uma constante arbitrária real
tal que
. Mais precisamente:
pode ser qualquer número real (incluindo
), pois absorvemos o sinal vindo do valor absoluto em
. Assim a família de soluções é
onde
é a constante arbitrária. Nota sobre domínio: a dedução usando
exigiu
; portanto a expressão
é válida em qualquer intervalo onde
não muda de sinal. A solução
corresponde ao caso
e vale para todo
, inclusive
.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: sempre que a EDO puder ser escrita como
use separação de variáveis. Ao integrar termos do tipo
ou
, lembre-se das barras absolutas no logaritmo; ao final elas são absorvidas pela constante arbitrária ao passar para a forma
. No momento de dividir por
ou
mencione que isso restringe inicialmente o raciocínio a
ou
, e trate o caso trivial (como
) separadamente.