Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
2 y d x=x d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,y\,dx = x\,dy
e pede para determinar a solução geral da EDO. Não foram fornecidas condições iniciais (PVI), então vamos achar apenas a solução geral. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona diferenciais dx e dy com os fatores x e y.
  • Para manipular a equação será necessário dividir por dx e por x ou y; isso impõe atenção ao caso x=0 ou y=0.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação na forma de derivada \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por dx (assumindo um intervalo onde isso é válido) obtemos
2\,y = x\,\frac{dy}{dx}.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}.
Observação importante: ao dividir por x estamos assumindo momentaneamente x\neq 0. O caso y\equiv 0 é uma solução trivial que será contemplada depois.

Passo 3

A equação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{x} é separável: podemos agrupar todos os termos com y num lado e os com x no outro. Dividindo por y (assumindo y\neq0 neste passo) e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{y}\,dy = 2\,\frac{1}{x}\,dx.
Explicando a técnica: separar variáveis significa escrever a equação de modo que uma integral dependa só de y e a outra só de x, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados da igualdade. As integrais são as integrais usuais de 1/y e 1/x:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2\,\frac{1}{x}\,dx.
Calculando,
\ln|y| = 2\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei a regra \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+\,\text{constante}.

Passo 5

Agora resolvemos para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\,|x|^{2}.
Como e^{C}>0, podemos escrever uma constante arbitrária real K tal que y = K x^{2}. Mais precisamente: K pode ser qualquer número real (incluindo 0), pois absorvemos o sinal vindo do valor absoluto em K. Assim a família de soluções é
y = C x^{2},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Nota sobre domínio: a dedução usando \ln|x| exigiu x\neq 0; portanto a expressão y=Cx^{2} é válida em qualquer intervalo onde x não muda de sinal. A solução y\equiv 0 corresponde ao caso C=0 e vale para todo x, inclusive x=0.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: sempre que a EDO puder ser escrita como \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y) use separação de variáveis. Ao integrar termos do tipo \dfrac{1}{y} ou \dfrac{1}{x}, lembre-se das barras absolutas no logaritmo; ao final elas são absorvidas pela constante arbitrária ao passar para a forma y=Cx^{2}. No momento de dividir por x ou y mencione que isso restringe inicialmente o raciocínio a x\neq0 ou y\neq0, e trate o caso trivial (como y\equiv0) separadamente.

Resposta

y = C x^{2},\quad C\in\mathbb{R}.

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