Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
y^{\prime}+y^{2} \sin x=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y^{\prime}+y^{2}\sin x=0
e pede a solução geral e, caso existam condições iniciais (PVI), a solução particular. Não foram fornecidas condições iniciais específicas, então vamos obter a solução geral e também mostrar como obter a solução particular a partir de uma condição y(x_{0})=y_{0}, caso apareça na prova.
Informações dadas:
  • A EDO é de primeira ordem: envolve y e y'.
  • A equação está na forma y'+y^{2}\sin x=0.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução geral da EDO.
  • Indicar a solução particular caso seja dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}.

Passo 2

Primeiro, verificar soluções constantes (isso é sempre bom antes de dividir por y). Se y é constante, então y'=0 e a equação fica
0 + y^{2}\sin x = 0.
Para essa igualdade valer para todo x é preciso que y^{2}=0 (pois \sin x não é zero para todo x). Logo existe a solução constante
y\equiv 0.
Observação importante: ao separar variáveis abaixo vamos dividir por y^{2}, o que exclui y=0. Por isso precisamos declarar essa solução antes de dividir.

Passo 3

Agora buscamos soluções não-constantes, onde y não é identicamente zero. Reescrevendo y' como \dfrac{dy}{dx}, a equação fica
\frac{dy}{dx} + y^{2}\sin x = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\sin x.
Este é um caso de variáveis separáveis: todos os termos com y podem ser colocados de um lado e os termos com x do outro. Como y não é zero nesta etapa, podemos dividir por y^{2}:
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -\sin x \,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou explicar a integral de cada lado:
  • Para a integral da esquerda, usar a regra \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}.
  • Para a direita, \int -\sin x\,dx = \cos x, porque a derivada de \cos x é -\sin x.
Portanto ao integrar obtemos (somando uma constante de integração C):
-\frac{1}{y} = \cos x + C.

Passo 5

Agora isolamos y. Multiplicando por -1,
\frac{1}{y} = -\cos x - C.
Renomeando a constante -C por C (sendo C um parâmetro arbitrário real), fica mais simples escrever
\frac{1}{y} = C - \cos x.
Invertendo ambos os lados (novamente assumindo y\neq 0 e C-\cos x\neq 0 no domínio),
y(x) = \frac{1}{C - \cos x},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Comentários sobre domínio e singularidades:
  • A solução y(x)=\dfrac{1}{C-\cos x} está definida apenas onde C-\cos x \neq 0. Pontos onde C=\cos x geram singularidades (pulos para infinito) e marcam o limite do intervalo onde a solução é válida.
  • Além dessa família de soluções, não esquecer a solução constante já encontrada: y\equiv 0. Essa solução não está contida na família racional acima porque essa família foi obtida dividindo por y^{2}.

Passo 7

Como obter a solução particular se for dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}:
  • Se y_{0}=0, então a solução particular é y\equiv 0.
  • Se y_{0}\neq 0, use a expressão 1/y(x_{0}) = C - \cos x_{0} para determinar C:
C = \frac{1}{y_{0}} + \cos x_{0}.
Substituindo na solução geral, a solução particular é
y(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{y_{0}}+\cos x_{0}-\cos x},
definida enquanto o denominador for diferente de zero.

Resposta

Solução geral: y(x)=\dfrac{1}{C-\cos x}, C\in\mathbb{R}, juntamente com a solução constante y\equiv 0.
Solução particular (para y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0): y(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{y_{0}}+\cos x_{0}-\cos x}.

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