Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede a solução geral e, caso existam condições iniciais (PVI), a solução particular. Não foram fornecidas condições iniciais específicas, então vamos obter a solução geral e também mostrar como obter a solução particular a partir de uma condição
, caso apareça na prova.
Informações dadas:
- A EDO é de primeira ordem: envolve
e . - A equação está na forma
.
O que é pedido:
- Encontrar a solução geral da EDO.
- Indicar a solução particular caso seja dada uma condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, verificar soluções constantes (isso é sempre bom antes de dividir por
). Se
é constante, então
e a equação fica
Para essa igualdade valer para todo
é preciso que
(pois
não é zero para todo
). Logo existe a solução constante
Observação importante: ao separar variáveis abaixo vamos dividir por
, o que exclui
. Por isso precisamos declarar essa solução antes de dividir.
Passo 3
Agora buscamos soluções não-constantes, onde
não é identicamente zero. Reescrevendo
como
, a equação fica
Isolando
:
Este é um caso de variáveis separáveis: todos os termos com
podem ser colocados de um lado e os termos com
do outro. Como
não é zero nesta etapa, podemos dividir por
:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou explicar a integral de cada lado:
- Para a integral da esquerda, usar a regra
quando . Aqui , então
- Para a direita,
, porque a derivada de é .
Portanto ao integrar obtemos (somando uma constante de integração
):
Passo 5
Agora isolamos
. Multiplicando por
,
Renomeando a constante
por
(sendo
um parâmetro arbitrário real), fica mais simples escrever
Invertendo ambos os lados (novamente assumindo
e
no domínio),
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Comentários sobre domínio e singularidades:
- A solução
está definida apenas onde . Pontos onde geram singularidades (pulos para infinito) e marcam o limite do intervalo onde a solução é válida. - Além dessa família de soluções, não esquecer a solução constante já encontrada:
. Essa solução não está contida na família racional acima porque essa família foi obtida dividindo por .
Passo 7
Como obter a solução particular se for dada uma condição inicial
:
- Se
, então a solução particular é . - Se
, use a expressão para determinar :
Substituindo na solução geral, a solução particular é
definida enquanto o denominador for diferente de zero.
Resposta
Solução geral:
,
, juntamente com a solução constante
.
Solução particular (para
com
):
.