Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
- A equação diferencial é
- Há uma condição inicial:
O que é pedido: (a) determinar a solução geral da EDO; (b) usando a condição inicial, encontrar a solução particular do problema de valor inicial (PVI).
Passo 2
Este é um caso clássico: é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
Aqui identificamos
Método que vamos usar: fator integrante. Vou explicar por que ele funciona. Se escolhermos um fator
tal que
ou seja
, então multiplicando a EDO por
obtemos
Assim a equação vira
, que podemos integrar diretamente. É exatamente isso que vamos aplicar.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
portanto
já que
(isso garante que
está bem definido e que
é positivo).
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Logo a equação é equivalente a
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Da igualdade anterior segue
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral da EDO:
Isso responde a parte (a): a família de soluções gerais é dada por essa expressão com parâmetro
.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
A condição diz que isso deve ser
, então
Passo 8
Com
a solução particular do PVI é
Breve checagem mental: essa função é bem definida para
e, substituída na EDO, reconstrói o procedimento anterior (multiplicando por
e derivando obtém-se
), então está correta.
Resposta
Solução geral:
Solução particular com :
Solução particular com