Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
\begin{gathered} y^{\prime}+\frac{2}{t} y=\frac{\cos t}{t^{2}}, \quad t>0 \\\ y(\pi)=0 \end{gathered}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • A equação diferencial é y^{\prime}+\frac{2}{t}\,y=\frac{\cos t}{t^{2}},\qquad t>0.
  • Há uma condição inicial: y(\pi)=0.
O que é pedido: (a) determinar a solução geral da EDO; (b) usando a condição inicial, encontrar a solução particular do problema de valor inicial (PVI).

Passo 2

Este é um caso clássico: é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
y'+P(t)\,y=Q(t).
Aqui identificamos
P(t)=\frac{2}{t},\qquad Q(t)=\frac{\cos t}{t^{2}}.
Método que vamos usar: fator integrante. Vou explicar por que ele funciona. Se escolhermos um fator \mu(t) tal que
\mu'(t)=\mu(t)P(t),
ou seja \mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right), então multiplicando a EDO por \mu obtemos
\mu y' + \mu P y = (\mu y)'.
Assim a equação vira (\mu y)'=\mu Q, que podemos integrar diretamente. É exatamente isso que vamos aplicar.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
\int P(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt = 2\ln t,
portanto
\mu(t)=\exp\!\left(2\ln t\right)=t^{2},
já que t>0 (isso garante que \ln t está bem definido e que t^{2} é positivo).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=t^{2}. Obtemos
t^{2}y' + 2t y = \cos t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{2}y, porque
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y\bigr)=2t y + t^{2}y'.
Logo a equação é equivalente a
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y\bigr)=\cos t.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Da igualdade anterior segue
t^{2}y = \int \cos t\,dt = \sin t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral da EDO:
y(t)=\frac{\sin t + C}{t^{2}},\qquad t>0.
Isso responde a parte (a): a família de soluções gerais é dada por essa expressão com parâmetro C\in\mathbb{R}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C. Substituindo t=\pi na solução geral:
y(\pi)=\frac{\sin \pi + C}{\pi^{2}}=\frac{0 + C}{\pi^{2}}=\frac{C}{\pi^{2}}.
A condição diz que isso deve ser 0, então
\frac{C}{\pi^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 8

Com C=0 a solução particular do PVI é
y(t)=\frac{\sin t}{t^{2}},\qquad t>0.
Breve checagem mental: essa função é bem definida para t>0 e, substituída na EDO, reconstrói o procedimento anterior (multiplicando por t^{2} e derivando obtém-se \cos t), então está correta.

Resposta

Solução geral: \displaystyle y(t)=\frac{\sin t + C}{t^{2}},\\ t>0.
Solução particular com y(\pi)=0: \displaystyle y(t)=\frac{\sin t}{t^{2}},\\ t>0.

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