Resolva as seguintes EDOs exatas.
\left(x^{3}+x y^{2}-1\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) y d y=0
(Sol. \frac{x^{4}}{4}+x^{2} \frac{y^{2}}{2}-x+\frac{y^{4}}{4}=c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x^{3} + x\,y^{2} - 1)\,dx \;+\;(x^{2}+y^{2})\,y\,dy = 0
reconhecendo que se trata de uma equação exata e que vamos buscar uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = x^{3} + x\,y^{2} - 1, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = x^{2}y + y^{3}.

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3} + x\,y^{2} - 1\bigr) = 2x\,y, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y + y^{3}\bigr) = 2x\,y.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y)=x^{3}+x\,y^{2}-1 em relação a x:
F(x,y) = \int (x^{3} + x\,y^{2} - 1)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}y^{2}}{2} - x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N(x,y)=x^{2}y+y^{3}:
\frac{\partial F}{\partial y} = x^{2}y + h'(y) \overset!= x^{2}y + y^{3} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y^{3} \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{y^{4}}{4}.

Passo 5

Substituindo h(y) em F, obtemos a função potencial completa
F(x,y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}y^{2}}{2} - x + \frac{y^{4}}{4}.
A solução geral da EDO exata é F(x,y)=C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}y^{2}}{2} - x + \frac{y^{4}}{4} = C.

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