Resolva as seguintes EDOs exatas.
2 x y d x+\left(1+x^{2}\right) d y=0
(Sol. y=\frac{c}{x^{2}+1} )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata
2xy\,dx + (1+x^2)\,dy = 0
O conteúdo é EDO exatas e vamos usar a ideia de função potencial \psi(x,y) com \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 2

Identificamos \,M(x,y)=2xy
e \,N(x,y)=1+x^2.
Verificamos a condição de exatidão: \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=2x
e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=2x,
logo a EDO é exata.

Passo 3

Para construir \psi, integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int 2xy\,dx = x^2y + h(y)

Passo 4

Derivando \psi em relação a y,
\frac{\partial\psi}{\partial y} = x^2 + h'(y)
como isso deve ser igual a N(x,y)=1+x^2, concluímos h'(y)=1 e
h(y) = y

Passo 5

Substituindo em \psi,
\psi(x,y) = x^2y + y = c
onde c é constante de integração. Reescrevendo para y,
y(x^2+1) = c \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{c}{x^2+1}

Resposta

y = \frac{c}{x^2+1}

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