Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas. x y d x-\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0
(Sol. \left.\quad \ln y-\frac{x^{2}}{2 y^{2}}=c \quad\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
x\,y\,dx -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy=0
que podemos reescrever como
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Esse tipo de equação é homogênea (o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau), então vamos usar a substituição
y=u\,x.
Passo 2
Com y=u\,x temos
\frac{dy}{dx}=u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na EDO original, obtemos
u + x\,\frac{du}{dx} \;=\;\frac{x\,(u\,x)}{x^{2}+(u\,x)^{2}} =\frac{u\,x^{2}}{x^{2}(1+u^{2})} =\frac{u}{1+u^{2}}.