Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
x y d x-\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0
(Sol. \left.\quad \ln y-\frac{x^{2}}{2 y^{2}}=c \quad\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x\,y\,dx -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy=0
que podemos reescrever como
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Esse tipo de equação é homogênea (o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau), então vamos usar a substituição
y=u\,x.

Passo 2

Com y=u\,x temos
\frac{dy}{dx}=u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na EDO original, obtemos
u + x\,\frac{du}{dx} \;=\;\frac{x\,(u\,x)}{x^{2}+(u\,x)^{2}} =\frac{u\,x^{2}}{x^{2}(1+u^{2})} =\frac{u}{1+u^{2}}.

Passo 3

Isolando o termo com du/dx, fica
x\,\frac{du}{dx} =\frac{u}{1+u^{2}}-u =u\Bigl(\frac{1}{1+u^{2}}-1\Bigr) =-\frac{u^{3}}{1+u^{2}}.
Então podemos separar variáveis:
\frac{1+u^{2}}{u^{3}}\,du \;=\;-\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(u^{-3}+u^{-1}\Bigr)\,du =\int -\frac{dx}{x}.
No lado esquerdo
\int u^{-3}\,du = -\frac{1}{2u^{2}}, \quad \int u^{-1}\,du = \ln|u|,
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-\frac{1}{2u^{2}}+\ln|u| =-\ln|x| + C.

Passo 5

Retornando à variável y, temos u=y/x e 1/u^{2}=x^{2}/y^{2}. Substituindo isso em -\frac{1}{2u^{2}}+\ln|u|=-\ln|x|+C
-\frac{x^{2}}{2y^{2}} + \ln\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr| =-\ln|x|+C.
Como \ln|y/x|-\ln|x|=\ln|y|-\ln|x|-\ln|x|=\ln|y|-2\ln|x|, podemos reabsorver constantes e simplificar para
\ln y \;-\;\frac{x^{2}}{2y^{2}} = C'.

Resposta

\ln y-\frac{x^{2}}{2y^{2}}=c

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