Resolva as seguintes EDOs e identifique eventuais termos transientes nas soluções.
x^{\prime}=x+y^{2}, x(0)=-2
(Sol. x=-y^{2}-2 y-2 )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
x' = x + y^2,\quad x(0) = -2,
onde a derivada é em relação a y. O método é de equação linear: colocamos na forma padrão, encontramos o fator integrante e resolvemos.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
\frac{dx}{dy} - x = y^2.
O fator integrante é
\mu(y) = e^{-\int 1\,dy} = e^{-y}.

Passo 3

Multiplicando a equação por e^{-y} obtemos
e^{-y}\frac{dx}{dy} - e^{-y}x = y^2e^{-y},
e o lado esquerdo é
\frac{d}{dy}\bigl(x\,e^{-y}\bigr) = y^2e^{-y}.
Integramos em y:
x\,e^{-y} = \int y^2e^{-y}\,dy.
Fazendo integração por partes em \int y^2e^{-y}dy chega-se a
\int y^2e^{-y}dy = -\bigl(y^2+2y+2\bigr)e^{-y} + C.
Logo
x\,e^{-y} = -\bigl(y^2+2y+2\bigr)e^{-y} + C.

Passo 4

Multiplicando por e^y isolamos x:
x = -\bigl(y^2+2y+2\bigr) + C\,e^{y} = -y^2 - 2y - 2 + C\,e^{y}.

Passo 5

Impondo a condição inicial x(0)=-2:
-2 = x(0) = -0 - 0 - 2 + C\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Portanto o termo geral da solução homogênea C\,e^{y} (termo transitório) desaparece.

Resposta

x = -y^2 - 2y - 2.

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