Resolva as seguintes EDOs e identifique eventuais termos transientes nas soluções.
x d y=(x \sin x-y) d x
(Sol. y=-\cos x+\frac{\sin x}{x}+\frac{c}{x} )

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x\,dy = \bigl(x\sin x - y\bigr)\,dx
e pede a solução geral e os termos transitórios. Trata–se de uma EDO linear de primeira ordem no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos por x (supondo x\neq0):
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = \sin x.
Aqui P(x)=1/x e Q(x)=\sin x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{\ln|x|} = x\quad(x>0\text{, por exemplo}).

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx} + y = x\sin x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x\frac{dy}{dx} + y.

Passo 5

Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x\sin x.
Integramos ambos os lados:
x\,y = \int x\sin x\,dx.
Para calcular \int x\sin x\,dx, usamos integração por partes:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos
x\,y = -x\cos x + \sin x + C \quad\Longrightarrow\quad y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}.

Passo 7

Aqui a parte homogênea é
y_h = \frac{C}{x},
que depende da constante arbitrária e tende a zero conforme x\to\infty. Esse é o termo transitório. A parte particular
y_p = -\cos x + \frac{\sin x}{x}
é a solução permanente forçada.

Resposta

y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x},
com termo transitório \dfrac{C}{x}.

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