Resolva as seguintes EDOs e identifique eventuais termos transientes nas soluções.
y^{\prime}+y=x, y(0)=4
(Sol. y=x-1+5 e^{-x} )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem y' + y = x
com condição inicial y(0)=4. Vamos usar o método do fator integrante para obter a solução e depois identificar o termo transiente.

Passo 2

Identificamos P(x)=1 e Q(x)=x. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x):
e^{x}y' + e^{x}y = x e^{x}
O lado esquerdo é a derivada de e^{x}y, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr) = x e^{x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1) + C,
onde usamos integração por partes em \int x e^{x}dx.

Passo 4

Isolando y obtemos
y = x - 1 + C e^{-x}.
Aplicando a condição inicial y(0)=4:
4 = 0 - 1 + C\cdot e^{0} \implies C = 5.

Passo 5

Substituindo C=5 na solução geral,
y = x - 1 + 5 e^{-x}.
O termo transiente é 5e^{-x}, pois decai para zero conforme x\to\infty.

Resposta

y = x - 1 + 5 e^{-x}
Termo transiente: 5e^{-x}.

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