Resolva as seguintes EDO’s por meio de uma substituição apropriada
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos a equação diferencial ordinária com condição inicial
O que o problema pede é encontrar a solução
que satisfaça essa EDO e a condição inicial dada. As informações relevantes são:
Passo 2
Observação sobre a forma da EDO e escolha da substituição: divido ambos os lados por
(desde que não seja zero) para escrever a EDO na forma
Repare que o lado direito depende apenas das razões entre
e
(as potências de
e
têm o mesmo grau). Isso sugere a substituição padrão para casos homogêneos:
Vou explicar: a ideia é transformar a EDO em uma que dependa de
e
de forma separável, porque
é a “razão” entre
e
e funções homogêneas em
costumam ficar em função só de
.
Passo 3
Calcular
em função de
e
. Se
, então por derivação do produto
Agora substituo
e essa expressão na EDO original escrita como
. O lado direito fica
Portanto a equação em
é
Passo 4
Isolar
e verificar que a equação é separável. Subtraindo
dos dois lados:
Logo
Isto é separável: concentro os termos em
de um lado e
do outro:
Passo 5
Integrar ambos os lados. Primeiro simplifico o integrando em
:
Agora integro:
Do lado direito,
Juntando e absorvendo constantes (
) obtemos a constante geral:
Passo 6
Simplificar a constante e usar a condição inicial para determinar
. Multiplico a relação por
para simplificar:
onde
é outra constante. Volto à variável original usando
somente após achar
. Aplicando a condição inicial
temos
e
. Substituo
e
na equação:
Como
e
, isso dá
Passo 7
Reescrever a solução implícita substituindo
e
. Temos
Somando
a ambos os lados:
Como
, isso se torna
Lembrando que
, multiplico por
e reorganizo:
Essa é a solução implícita que satisfaz a condição inicial
. Como
, na vizinhança dessa condição podemos tirar o valor absoluto e escrever
se quisermos a versão sem barras, mas a forma com
é correta globalmente.