Resolva as seguintes EDO’s por meio de uma substituição apropriada
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=x y, y(-1)=1

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos a equação diferencial ordinária com condição inicial
\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\frac{d y}{d x}=x y,\qquad y(-1)=1.
O que o problema pede é encontrar a solução y(x) que satisfaça essa EDO e a condição inicial dada. As informações relevantes são:
\text{(i)}\quad (x^{2}+2 y^{2})\frac{d y}{d x}=x y, \qquad \text{(ii)}\quad y(-1)=1.

Passo 2

Observação sobre a forma da EDO e escolha da substituição: divido ambos os lados por x^{2}+2y^{2} (desde que não seja zero) para escrever a EDO na forma
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+2 y^{2}}.
Repare que o lado direito depende apenas das razões entre y e x (as potências de x e y têm o mesmo grau). Isso sugere a substituição padrão para casos homogêneos:
\text{faço } v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.ç
Vou explicar: a ideia é transformar a EDO em uma que dependa de v e x de forma separável, porque v é a “razão” entre y e x e funções homogêneas em x,y costumam ficar em função só de v.

Passo 3

Calcular \dfrac{d y}{d x} em função de v e dv/dx. Se y=vx, então por derivação do produto
\frac{d y}{d x}=v+x\frac{d v}{d x}.
Agora substituo y=vx e essa expressão na EDO original escrita como \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x y}{x^{2}+2 y^{2}}. O lado direito fica
\frac{x y}{x^{2}+2 y^{2}}=\frac{x\cdot (v x)}{x^{2}+2 (v x)^{2}}=\frac{x^{2} v}{x^{2}(1+2 v^{2})}=\frac{v}{1+2 v^{2}}.
Portanto a equação em v é
v+x\frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+2 v^{2}}.

Passo 4

Isolar dv/dx e verificar que a equação é separável. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+2 v^{2}}-v = v\!\left(\frac{1}{1+2 v^{2}}-1\right) = v\!\left(\frac{1-(1+2 v^{2})}{1+2 v^{2}}\right) = -\frac{2 v^{3}}{1+2 v^{2}}.
Logo
\frac{d v}{d x}=-\frac{2 v^{3}}{x(1+2 v^{2})}.
Isto é separável: concentro os termos em v de um lado e x do outro:
\frac{1+2 v^{2}}{v^{3}}\,d v = -\frac{2}{x}\,d x.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Primeiro simplifico o integrando em v:
\frac{1+2 v^{2}}{v^{3}}=\frac{1}{v^{3}}+2\frac{1}{v}.
Agora integro:
\int\left(\frac{1}{v^{3}}+2\frac{1}{v}\right)d v = \int v^{-3}d v + 2\int v^{-1}d v = \left(-\tfrac{1}{2}v^{-2}\right)+2\ln|v| + C_{1}.
Do lado direito,
\int -\frac{2}{x}\,d x = -2\ln|x| + C_{2}.
Juntando e absorvendo constantes ( C=C_{2}-C_{1}) obtemos a constante geral:
-\tfrac{1}{2}v^{-2}+2\ln|v| = -2\ln|x| + C.

Passo 6

Simplificar a constante e usar a condição inicial para determinar C. Multiplico a relação por 2 para simplificar:
- v^{-2} + 4\ln|v| = -4\ln|x| + C',
onde C'=2C é outra constante. Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x} somente após achar C'. Aplicando a condição inicial y(-1)=1 temos v(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1 e x=-1. Substituo v=-1 e x=-1 na equação:
-(-1)^{-2}+4\ln|{-1}| = -4\ln|{-1}| + C'.
Como (-1)^{-2}=1 e \ln|{-1}|=\ln 1=0, isso dá
-1 + 0 = 0 + C' \quad\Rightarrow\quad C'=-1.

Passo 7

Reescrever a solução implícita substituindo C'=-1 e v=\dfrac{y}{x}. Temos
- v^{-2} + 4\ln|v| = -4\ln|x| -1.
Somando 4\ln|x| a ambos os lados:
- v^{-2} + 4\bigl(\ln|v|+\ln|x|\bigr) = -1.
Como \ln|v|+\ln|x|=\ln|vx|=\ln|y|, isso se torna
- v^{-2} + 4\ln|y| = -1.
Lembrando que v^{-2}=\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-2}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}, multiplico por -1 e reorganizo:
\frac{x^{2}}{y^{2}} - 4\ln|y| = 1.
Essa é a solução implícita que satisfaz a condição inicial y(-1)=1. Como y(-1)=1>0, na vizinhança dessa condição podemos tirar o valor absoluto e escrever \ln y se quisermos a versão sem barras, mas a forma com |y| é correta globalmente.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{y^{2}}-4\ln|y|=1

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