Resolva as seguintes EDO’s por meio de uma substituição apropriada
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right) d x-x e^{\frac{y}{x}} d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right)\,dx - x e^{\frac{y}{x}}\,dy=0,
com a condição inicial y(1)=0.
Pergunta: resolver a EDO usando uma substituição apropriada e aplicar a condição inicial.
Informações relevantes: a equação envolve x, y e e^{\frac{y}{x}}; a condição inicial fixa o valor de y em x=1.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a EDO numa forma explícita para \dfrac{dy}{dx}. Reescrevendo a equação:
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right)\,dx = x e^{\frac{y}{x}}\,dy.
Dividindo por dx e isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x e^{\frac{y}{x}}}.
Agora separamos termos para ver a estrutura:
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x e^{\frac{y}{x}}} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x e^{\frac{y}{x}}} = e^{-\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Observação motivadora para a substituição: na expressão e^{-\frac{y}{x}} + \dfrac{y}{x} aparece claramente a razão \dfrac{y}{x}. Isso sugere tentar a substituição
u = \frac{y}{x},
pois frequentemente quando a EDO depende de y apenas através de y/x essa substituição simplifica a equação.

Passo 4

Expressamos y e \dfrac{dy}{dx} em termos de u. Como y = u x, derivando em relação a x (regra do produto) obtemos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Aqui u é função de x; u representa \dfrac{y}{x} e \dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x.

Passo 5

Substituímos essa expressão em \dfrac{dy}{dx} = e^{-y/x} + \dfrac{y}{x}. Lembrando que u=\dfrac{y}{x} e e^{-y/x}=e^{-u}, temos:
u + x\frac{du}{dx} = e^{-u} + u.
Agora simplificamos cancelando u dos dois lados:
x\frac{du}{dx} = e^{-u}.
Essa equação é separável: conseguimos pôr os termos com u de um lado e os de x do outro.

Passo 6

Separamos variáveis e integramos. Escrevendo a separação:
e^{u}\,du = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int e^{u}\,du = \int \frac{dx}{x}.
As primitivadas conhecidas são \int e^{u}\,du = e^{u} e \int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C. Assim obtemos
e^{u} = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Voltamos à variável original usando u=\dfrac{y}{x}. Assim a solução implícita é
e^{\frac{y}{x}} = \ln|x| + C.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 obtemos
e^{\frac{0}{1}} = e^{0} = 1 = \ln|1| + C = 0 + C.
Logo C=1. Portanto a solução particular é
e^{\frac{y}{x}} = \ln|x| + 1.

Passo 8

Podemos escrever a solução de forma explícita para y. Tomando o logaritmo natural dos dois lados (note que precisamos ter \ln|x|+1>0 para isso), obtemos
\frac{y}{x} = \ln\big(\ln|x| + 1\big).
Multiplicando por x,
y = x \,\ln\big(\ln|x| + 1\big).
Sobre domínio: precisamos de x\neq 0 e \ln|x|+1>0. Para a condição inicial x=1 estamos no ramo x>0 e \ln 1+1=1>0, então a solução encontrada é válida numa vizinhança de x=1.

Passo 9

Pequeno encorajamento: você acabou de ver uma técnica poderosa — reconhecer dependência em y/x, fazer u=y/x, separar variáveis e integrar. Na prova, sempre escreva cada passo limpinho (substituição, derivada, separação, integração, condição inicial). Respira fundo — você mandou bem!

Resposta

y = x \ln\big(\ln|x| + 1\big)

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