Resolva as seguintes EDO’s por meio de uma substituição apropriada
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com a condição inicial
.
Pergunta: resolver a EDO usando uma substituição apropriada e aplicar a condição inicial.
Informações relevantes: a equação envolve ,
e
; a condição inicial fixa o valor de
em
.
Informações relevantes: a equação envolve
Passo 2
Vamos primeiro escrever a EDO numa forma explícita para
. Reescrevendo a equação:
Dividindo por
e isolando
obtemos
Agora separamos termos para ver a estrutura:
Passo 3
Observação motivadora para a substituição: na expressão
aparece claramente a razão
. Isso sugere tentar a substituição
pois frequentemente quando a EDO depende de
apenas através de
essa substituição simplifica a equação.
Passo 4
Expressamos
e
em termos de
. Como
, derivando em relação a
(regra do produto) obtemos
Aqui
é função de
;
representa
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Substituímos essa expressão em
. Lembrando que
e
, temos:
Agora simplificamos cancelando
dos dois lados:
Essa equação é separável: conseguimos pôr os termos com
de um lado e os de
do outro.
Passo 6
Separamos variáveis e integramos. Escrevendo a separação:
Integramos ambos os lados:
As primitivadas conhecidas são
e
. Assim obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 7
Voltamos à variável original usando
. Assim a solução implícita é
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
obtemos
Logo
. Portanto a solução particular é
Passo 8
Podemos escrever a solução de forma explícita para
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados (note que precisamos ter
para isso), obtemos
Multiplicando por
,
Sobre domínio: precisamos de
e
. Para a condição inicial
estamos no ramo
e
, então a solução encontrada é válida numa vizinhança de
.
Passo 9
Pequeno encorajamento: você acabou de ver uma técnica poderosa — reconhecer dependência em
, fazer
, separar variáveis e integrar. Na prova, sempre escreva cada passo limpinho (substituição, derivada, separação, integração, condição inicial). Respira fundo — você mandou bem!