Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d^2 y(t)dt^2+4 d y(t)dt+4 y(t)=0, y(0)=1, d y(0)dt=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
d^2y(t)dt^2 + 4dy(t)dt + 4,y(t) = 0
com condições iniciais y(0)=1 e dydt(0)=-1, usando transformada de Laplace. Para isso vamos precisar das propriedades
Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), além das transformadas inversas de 1s+a e 1(s+a)^2.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Ly'' + 4,Ly' + 4,Ly = 0
Substituindo
Ly'' = s^2Y(s)-scdot 1 -(-1) = s^2Y(s)-s+1,
Ly' = sY(s)-1 e Ly=Y(s), obtemos
l(s^2Y(s)-s+1r) + 4l(sY(s)-1r) +4,Y(s) =0

Passo 3

Reagrupando os termos em Y(s) e os termos constantes:
(s^2+4s+4),Y(s);-;s+1;-;4 ;=;0 Longrightarrow (s+2)^2,Y(s)=s+3
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Y(s)=s+3(s+2)^2

Passo 4

Escrevemos ,s+3=(s+2)+1 para decompor:
Y(s)=s+2(s+2)^2+1(s+2)^2 =1s+2+1(s+2)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
L^-1ltfrac1s+2r=e^-2t, L^-1ltfrac1(s+2)^2r=t,e^-2t
Portanto
y(t)=e^-2t+t,e^-2t=(1+t),e^-2t

Resposta

y(t)=(1+t)e^-2t

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