Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d y(t)d t+5 y(t)=e^-t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
d y(t)d t + 5,y(t) = e^-t, y(0)=2
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
  1. Ly'(t)(s)=s,Y(s)-y(0),
  2. Ly(t)(s)=Y(s),
  3. Le^-t(s)=tfrac1s+1.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
Ly'(s) +5, Ly(s) ;=; Le^-t(s)
isto é,
l(s,Y(s)-y(0)r) +5,Y(s) ;=;1s+1
Substituindo y(0)=2,
s,Y(s)-2 +5,Y(s) = 1s+1 ;;Longrightarrow;;(s+5),Y(s)=1s+1+2

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s)=1s+1+2s+5 =1+2(s+1)(s+1)(s+5) =2s+3(s+1)(s+5)
Fazendo frações parciais, procuramos A,B tais que
2s+3(s+1)(s+5) =As+1+Bs+5
Igualando numeradores:
2s+3 = A(s+5)+B(s+1) = (A+B)s + (5A+B)
Logo
A+B=2, 5A+B=3 ;;Longrightarrow;; A=tfrac14,;B=tfrac74
Portanto
Y(s)=1/4s+1 + 7/4s+5

Passo 4

Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
y(t) =14,e^-t + 74,e^-5t

Resposta

y(t)=14,e^-t + 74,e^-5t

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