Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d^2 y(t)dt^2+3 dy(t)dt+2 y(t)=sin (t), y(0)=0, dy(0)dt=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''(t) + 3,y'(t) + 2,y(t) = sin(t), y(0)=0,;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos usar Y(s)=Ly(t) e as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando Laplace nos dois lados:
Ly'' + 3,Ly' + 2,Ly = Lsin(t)
substituindo condições iniciais:
(s^2Y(s)-1) + 3,(sY(s)-0) + 2,Y(s) = 1s^2+1

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s):
(s^2 + 3s + 2),Y(s) - 1 = 1s^2+1,
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Y(s) = 1s^2+1,1s^2+3s+2 + 1s^2+3s+2 = s^2+2(s^2+1)(s+1)(s+2)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
s^2+2(s^2+1)(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2 + Cs+Ds^2+1
Calculando em s=-1 e s=-2 obtemos
A=tfrac32, B=-tfrac65
Comparando coeficientes gerais achamos
C=-tfrac310, D=tfrac110
Assim
Y(s) = 3/2s+1 - 6/5s+2 - 3/10,ss^2+1 + 1/10s^2+1

Passo 5

Invertemos a transformada termo a termo:
L^-1tfrac1s+1=e^-t, L^-1tfrac1s+2=e^-2t,
L^-1tfracss^2+1=cos t, L^-1tfrac1s^2+1=sin t
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y(t) = tfrac32e^-t - tfrac65e^-2t - tfrac310cos t + tfrac110sin t

Resposta

y(t) = 32e^-t ;-;65e^-2t ;-;310cos t ;+;110sin t

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