Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d y(t)dt+3 y(t)=cos (2 t), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea
dy(t)dt + 3,y(t) = cos(2t), y(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos usar que
  • Ly'(t)(s) = s,Y(s) - y(0),
  • Ly(t)(s) = Y(s),
  • Lcos(2t)(s) = ss^2+4.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à equação, obtemos
s,Y(s) - y(0) + 3,Y(s) = ss^2+4
Como y(0)=1, isso dá
(s+3),Y(s) - 1 = ss^2+4 Longrightarrow (s+3),Y(s) = ss^2+4 + 1

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = ss^2+4 + 1s+3 = s + (s^2+4)(s+3)(s^2+4) = s^2 + s + 4(s+3)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos frações parciais em
s^2 + s + 4(s+3)(s^2+4) = As+3 + B,s + Cs^2+4
Multiplicando por (s+3)(s^2+4) e igualando coeficientes, obtemos
A = -tfrac313, B = tfrac313, C = tfrac413
Logo
Y(s) = As+3 + B,ss^2+4 + Cs^2+4 = -3/13s+3 + 3/13,ss^2+4 + 4/13s^2+4
Podemos ainda agrupar o termo -3/13s+3 com um 1/(s+3) que apareceu antes em Passo 2, mas o resultado final dos coeficientes será equivalente ao que obtemos a seguir.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1!tfrac1s+3(t) = e^-3t, L^-1!tfracss^2+4(t) = cos(2t), L^-1!tfrac1s^2+4(t) = tfrac12sin(2t)
Assim,
y(t) = 1013e^-3t + 313cos(2t) + 413,12sin(2t) = 1013e^-3t + 313cos(2t) + 213sin(2t)

Resposta

y(t) = 1013e^-3t + 313cos(2t) + 213sin(2t)

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