Resolva as seguintes EDOs usando transformada de Laplace:
d y(t)dt+2 y(t)=3 e^t, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
dy(t)dt + 2,y(t) = 3,e^t, y(0)=1,
e pede a solução usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'(s)=sY(s)-y(0) e Le^t(s)=tfrac1s-1.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, obtemos
Ly'(s) + 2, Ly(s) =3, Le^t(s)
Substituindo as fórmulas, fica
l(s,Y(s)-y(0)r) + 2,Y(s) =3cdot1s-1
Como y(0)=1, isso vira
(s+2),Y(s) - 1 = 3s-1

Passo 3

Isolando Y(s), temos
(s+2),Y(s) = 3s-1 + 1 Longrightarrow Y(s) = 3(s-1)(s+2) + 1s+2

Passo 4

Para simplificar tfrac3(s-1)(s+2), fazemos frações parciais:
3(s-1)(s+2) = As-1 + Bs+2
Igualando numeradores, 3 = A(s+2) + B(s-1).
Para s=1: 3=3A Rightarrow A=1.
Para s=-2: 3=-3B Rightarrow B=-1.
Logo
3(s-1)(s+2) = 1s-1 - 1s+2,
e portanto
Y(s) = 1s-1 - 1s+2 + 1s+2 = 1s-1

Passo 5

Invertendo a transformada, y(t)= L^-1Y(s). Como
L^-1l1s-1r(t) = e^t,
concluímos que
y(t)=e^t

Resposta

y(t)=e^t

Exercícios relacionados