Resolva as seguintes EDOs:
y^{\prime}+\frac{y}{2}=2+x

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede sua solução geral. As informações fornecidas são:
  • A equação é \;y^{\prime}+\dfrac{y}{2}=2+x.
  • Queremos encontrar a função y(x) que satisfaça essa equação para todo x.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão e identificar os coeficientes que vamos usar. A forma linear padrão é
y'+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) é a função que multiplica y e q(x) é o termos independente (ambas dependem de x em geral). Comparando com a equação dada, temos:
p(x)=\dfrac{1}{2},\qquad q(x)=2+x.
Aqui p(x) é a função que dita o fator integrante e q(x) é o lado direito que vamos integrar depois.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (de forma simples). Para resolver uma EDO linear de primeira ordem escrevemos um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x):
\big(\mu(x)\,y(x)\big)'=\mu(x)\,q(x).
Depois integramos ambos os lados e isolamos y(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x) com o p(x) que temos:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \dfrac{1}{2}\,dx\right)=\exp\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=e^{x/2}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x/2}. Fazendo isso obtemos
e^{x/2}y'+\dfrac{1}{2}e^{x/2}y=e^{x/2}(2+x).
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\big(e^{x/2}y\big)'=e^{x/2}(2+x).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
e^{x/2}y=\int e^{x/2}(2+x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral do lado direito passo a passo. Separe em duas integrais:
\int e^{x/2}(2+x)\,dx=\int 2e^{x/2}\,dx+\int x e^{x/2}\,dx.
Calcule cada uma:
  • Para \int 2e^{x/2}\,dx: como \dfrac{d}{dx}e^{x/2}=\tfrac{1}{2}e^{x/2}, segue que \int e^{x/2}\,dx=2e^{x/2}. Assim
\int 2e^{x/2}\,dx=2\cdot 2e^{x/2}=4e^{x/2}.
  • Para \int x e^{x/2}\,dx: use integração por partes. Tome u=x e dv=e^{x/2}dx. Então du=dx e v=2e^{x/2}. Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int x e^{x/2}\,dx = x\cdot 2e^{x/2} - \int 2e^{x/2}\,dx = 2x e^{x/2} - 4e^{x/2}.
Somando as duas partes:
\int e^{x/2}(2+x)\,dx = 4e^{x/2} + \big(2x e^{x/2} - 4e^{x/2}\big) = 2x e^{x/2}.
Portanto a integral completa é 2x e^{x/2}+C.

Passo 7

Retornar à expressão para y. Temos
e^{x/2}y = 2x e^{x/2} + C.
Isolando y dividindo por e^{x/2}:
y(x)=2x + C e^{-x/2}.
Essa é a solução geral da EDO. Aqui C é uma constante real que será determinada por uma condição inicial, se houver.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro). Derivando a solução:
y'(x)=2 + C\left(-\tfrac{1}{2}\right)e^{-x/2}=2 - \tfrac{C}{2}e^{-x/2}.
Calcule y'(x)+\dfrac{y(x)}{2}:
y'+\dfrac{y}{2}= \Big(2 - \tfrac{C}{2}e^{-x/2}\Big) + \dfrac{1}{2}\Big(2x + C e^{-x/2}\Big) =2 - \tfrac{C}{2}e^{-x/2} + x + \tfrac{C}{2}e^{-x/2} = 2+x,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=2x + C e^{-x/2}

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