Resolva as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pede sua solução geral. As informações fornecidas são:
- A equação é
. - Queremos encontrar a função
que satisfaça essa equação para todo .
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão e identificar os coeficientes que vamos usar. A forma linear padrão é
onde
é a função que multiplica
e
é o termos independente (ambas dependem de
em geral). Comparando com a equação dada, temos:
Aqui
é a função que dita o fator integrante e
é o lado direito que vamos integrar depois.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (de forma simples). Para resolver uma EDO linear de primeira ordem escrevemos um fator integrante
definido por
Multiplicando a equação original por
obtemos que o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Depois integramos ambos os lados e isolamos
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
com o
que temos:
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
onde
é a constante de integração. Agora calculamos a integral do lado direito passo a passo. Separe em duas integrais:
Calcule cada uma:
- Para
: como , segue que . Assim
- Para
: use integração por partes. Tome e . Então e . Pela fórmula ,
Somando as duas partes:
Portanto a integral completa é
.
Passo 7
Retornar à expressão para
. Temos
Isolando
dividindo por
:
Essa é a solução geral da EDO. Aqui
é uma constante real que será determinada por uma condição inicial, se houver.
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro). Derivando a solução:
Calcule
:
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.