Resolva as seguintes EDOs
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0 ; y(0)=1 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e duas condições nos pontos x=0 e x=1. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • EDO a resolver: y''-5y'+6y=0.
  • Condições: y(0)=1,\qquad y(1)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a EDO e essas duas condições.

Passo 2

Forma geral de resolução (ideia passo a passo):
  • Para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, procura-se uma solução do tipo y(x)=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Substituindo na EDO obtém-se a chamada equação característica, que é uma equação algébrica para r. Cada raiz r da equação característica gera uma parte da solução geral. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Montar e resolver a equação característica. Substituindo y=e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}, y'=r e^{rx} na EDO tem-se:
r^2 e^{rx} - 5r e^{rx} + 6 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^2 - 5r + 6 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0.
Logo as raízes são
r_1=2,\qquad r_2=3.

Passo 4

Formar a solução geral da EDO com base nas duas raízes reais distintas. Quando as raízes r_1 e r_2 são distintas e reais, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo r_1=2 e r_2=3 obtemos
y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições dadas.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1 + C_2 = 1.
Portanto obtemos a primeira equação:
C_1 + C_2 = 1. \tag{1}
Segunda condição: y(1)=0. Substituindo x=1:
y(1)=C_1 e^{2}+C_2 e^{3}=0.
Essa é a segunda equação:
C_1 e^{2} + C_2 e^{3} = 0. \tag{2}

Passo 6

Resolver o sistema linear formado pelas equações (1)\) e \((2)\). Reescrevendo: \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] C_1 e^{2} + C_2 e^{3} = 0. \end{cases}
Vou eliminar C_2\]. Da equação \((1) tem-se C_2 = 1 - C_1. Substituindo em (2):
C_1 e^{2} + (1 - C_1) e^{3} = 0.
Distribuindo:
C_1 e^{2} + e^{3} - C_1 e^{3} = 0.
Agrupando os termos com C_1:
C_1\bigl(e^{2} - e^{3}\bigr) + e^{3} = 0.
Isolando C_1:
C_1\bigl(e^{2}(1 - e)\bigr) = -e^{3}.
Como e^{2}(1-e)\neq 0, obtemos
C_1 = \frac{-e^{3}}{e^{2}(1-e)}.
Simplificando o fator e^{2}:
C_1 = \frac{-e}{1-e}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar mais simpático:
C_1 = \frac{e}{e-1}.
Agora C_2 = 1 - C_1. Então
C_2 = 1 - \frac{e}{e-1} = \frac{e-1 - e}{e-1} = \frac{-1}{e-1} = \frac{1}{1-e}.]

Passo 7

Construir a solução particular com os coeficientes encontrados. Substituindo C_1 e C_2 em y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}:
y(x)=\frac{e}{e-1}\,e^{2x} + \frac{1}{1-e}\,e^{3x}.
Uma forma alternativa e equivalente, reunindo em um único denominador (e-1), é
y(x)=\frac{e\,e^{2x}-e^{3x}}{e-1}=\frac{e^{2x+1}-e^{3x}}{e-1}.
Ambas as expressões representam a mesma função. Para checar rapidamente, observe:
  • Em x=0 obtemos y(0)=\dfrac{e-e^{0\cdot3}}{e-1}=\dfrac{e-1}{e-1}=1.
  • Em x=1 obtemos y(1)=\dfrac{e^{3}-e^{3}}{e-1}=0.
    Portanto as condições são satisfeitas.

Passo 8

Comentário sobre unicidade (rápido e prático): o sistema linear para C_1,C_2 tem determinante
\begin{vmatrix} 1 & 1\\[4pt] e^{2} & e^{3} \end{vmatrix} = e^{3}-e^{2}=e^{2}(e-1)\neq 0,
portanto há solução única para C_1 e C_2, implicando unicidade da solução da EDO com essas duas condições.]

Resposta

y(x)=\frac{e}{e-1}\,e^{2x}+\frac{1}{1-e}\,e^{3x}=\frac{e^{2x+1}-e^{3x}}{e-1}.

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