Utilizando como base a mistura do exercício anterior, e sabendo-se que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa são: v_{C O}= 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ; v_{O_{2}}=13 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ; v_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=19 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ; v_{N_{2}}=11 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, determine:
a) Velocidade média molar da mistura;
b) Velocidade média mássica da mistura;
c) Velocidade de difusão do O2 na mistura, tendo como referência a velocidade média molar da mistura;
d) Velocidade de difusão do O 2 na mistura, tendo como referência a velocidade média mássica da mistura.

Passo 1

O que o enunciado pede (separado por itens):
  • (a) Calcular a velocidade média molar da mistura.
  • (b) Calcular a velocidade média mássica da mistura.
  • (c) Calcular a velocidade de difusão do O_2 na mistura tomando como referência a velocidade média molar.
  • (d) Calcular a velocidade de difusão do O_2 na mistura tomando como referência a velocidade média mássica.
Informações que o enunciado fornece:
  • Velocidades absolutas das espécies (todas em \mathrm{cm/s}): v_{CO}=10\\ \mathrm{cm/s},\quad v_{O_2}=13\\ \mathrm{cm/s},\quad v_{H_2O}=19\\ \mathrm{cm/s},\quad v_{N_2}=11\\ \mathrm{cm/s}.
Informação que falta e que é necessária para obter respostas numéricas:
  • Não foram fornecidas as frações molares \{y_i\} nem as frações mássicas \{w_i\} da mistura. Sem as frações molares ou mássicas não é possível calcular valores numéricos para as médias.
    Portanto: vou deduzir as fórmulas corretas (passo a passo) que você deve aplicar em prova; elas permitem calcular os resultados assim que as frações forem conhecidas. Também mostrarei como converter frações molares em frações mássicas (é a parte prática que normalmente falta).

Passo 2

Definição e fórmula da velocidade média molar (explicação didática).
  • Ideia física: a velocidade média molar é a média das velocidades das espécies ponderada pela quantidade de mols de cada espécie (fração molar). Pense: cada mol “contribui” igualmente para a média.
  • Notação: para cada espécie i use y_i para a fração molar (ou seja, a fração dos mols totais ocupados pela espécie i) e v_i para sua velocidade absoluta.
  • Fórmula (expressa em termos das quatro espécies dadas):
\bar v_{\text{mol}}=\sum_{i} y_i v_i
ou explicitamente
\bar v_{\text{mol}}=y_{CO}\,v_{CO}+y_{O_2}\,v_{O_2}+y_{H_2O}\,v_{H_2O}+y_{N_2}\,v_{N_2}.
  • Substituindo os valores numéricos das velocidades (ainda ficando em função das y_i):
\bar v_{\text{mol}}=10\,y_{CO}+13\,y_{O_2}+19\,y_{H_2O}+11\,y_{N_2}\quad(\mathrm{cm/s}).
  • Observação importante: as frações molares satisfazem
y_{CO}+y_{O_2}+y_{H_2O}+y_{N_2}=1.
  • Como aplicar na prova: se derem as y_i, você simplesmente multiplica e soma conforme a fórmula acima.

Passo 3

Definição e fórmula da velocidade média mássica (explicação didática).
  • Ideia física: a velocidade média mássica pondera as velocidades pelas massas presentes de cada espécie — espécies mais pesadas (em massa total) influenciam mais a média.
  • Notação: w_i é a fração mássica (massa da espécie i sobre a massa total da mistura).
  • Fórmula:
\bar v_{\text{mass}}=\sum_{i} w_i v_i
ou explicitamente
\bar v_{\text{mass}}=w_{CO}\,v_{CO}+w_{O_2}\,v_{O_2}+w_{H_2O}\,v_{H_2O}+w_{N_2}\,v_{N_2}.
  • Acontece que em muitos enunciados são dadas frações molares y_i. Para usar a fórmula acima precisamos transformar y_i em w_i. A relação é:
w_i=\frac{y_i M_i}{\sum_j y_j M_j},
onde M_i é a massa molar da espécie i (em g/mol, por exemplo).
  • Valores de massa molar usuais (usar estes em prova a menos que o enunciado especifique outros): M_{CO}\approx28{,}01,\quad M_{O_2}\approx32{,}00,\quad M_{H_2O}\approx18{,}02,\quad M_{N_2}\approx28{,}01\quad(\mathrm{g/mol}).
  • Assim, dado \{y_i\} calcula-se o denominador
\sum_j y_j M_j = y_{CO}M_{CO}+y_{O_2}M_{O_2}+y_{H_2O}M_{H_2O}+y_{N_2}M_{N_2},
e então cada w_i. Depois aplica-se a soma ponderada das velocidades.
  • Escrevendo \bar v_{\text{mass}} em função de y_i:
\bar v_{\text{mass}}=\frac{y_{CO}M_{CO}\,v_{CO}+y_{O_2}M_{O_2}\,v_{O_2}+y_{H_2O}M_{H_2O}\,v_{H_2O}+y_{N_2}M_{N_2}\,v_{N_2}}{y_{CO}M_{CO}+y_{O_2}M_{O_2}+y_{H_2O}M_{H_2O}+y_{N_2}M_{N_2}}.
  • Observação prática: em prova faça a conta do denominador primeiro (é a massa média molar da mistura) e depois multiplique.

Passo 4

Definição e cálculo das velocidades de difusão relativas (explicação didática).
  • O que é "velocidade de difusão de O_2 tendo como referência ..."? Significa a velocidade relativa do O_2 com respeito à velocidade média escolhida. Em outras palavras, quanto o O_2 se desloca em relação ao movimento médio da mistura.
  • Se a referência for a velocidade média molar:
v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mol})}=v_{O_2}-\bar v_{\text{mol}}.
  • Se a referência for a velocidade média mássica:
v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mass})}=v_{O_2}-\bar v_{\text{mass}}.
  • Interpretando o sinal: se v_{O_2}-\bar v>0, O_2 se move mais rápido que a referência (difunde para frente); se negativo, move-se mais devagar (ou tem um movimento relativo no sentido oposto).
  • Substituindo o valor dado de v_{O_2} obtém-se, em termos das frações,
v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mol})}=13 - \bigl(10\,y_{CO}+13\,y_{O_2}+19\,y_{H_2O}+11\,y_{N_2}\bigr)
e
v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mass})}=13 - \bar v_{\text{mass}},
onde \bar v_{\text{mass}} já foi expressa no passo anterior.

Passo 5

Exemplo de procedimento numérico (como fazer em prova, passo a passo) — sem inventar frações:
  • Passo A: obter as frações molares y_{CO},y_{O_2},y_{H_2O},y_{N_2} do enunciado (ou as frações mássicas w_i se dadas).
  • Passo B: calcular \bar v_{\text{mol}}=10y_{CO}+13y_{O_2}+19y_{H_2O}+11y_{N_2}.
  • Passo C: calcular a massa média molar \overline{M}=\sum_j y_j M_j com os M_i do passo 3.
  • Passo D: calcular w_i=(y_i M_i)/\overline{M} para cada espécie.
  • Passo E: calcular \bar v_{\text{mass}}=\sum_i w_i v_i.
  • Passo F: calcular as velocidades de difusão pela subtração v_{O_2}-\bar v_{\text{mol}} e v_{O_2}-\bar v_{\text{mass}}.
  • Observação final de ânimo: são contas diretas — se tiveres as frações molares na prova, faz com calma a sequência acima e checa somatórios (as frações devem somar 1).

Resposta

(a) \displaystyle \bar v_{\text{mol}}=10\,y_{CO}+13\,y_{O_2}+19\,y_{H_2O}+11\,y_{N_2}\\ \mathrm{(cm/s)}
(b) \displaystyle \bar v_{\text{mass}}=w_{CO}\,10+w_{O_2}\,13+w_{H_2O}\,19+w_{N_2}\,11\\ \mathrm{(cm/s)},\quad\text{onde}\quad w_i=\dfrac{y_i M_i}{\sum_j y_j M_j}
(c) \displaystyle v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mol})}=13-\bigl(10\,y_{CO}+13\,y_{O_2}+19\,y_{H_2O}+11\,y_{N_2}\bigr)\\ \mathrm{(cm/s)}
(d) \displaystyle v_{O_2,\text{dif}}^{(\text{mass})}=13-\bar v_{\text{mass}}\\ \mathrm{(cm/s)}, com \bar v_{\text{mass}} dado no item (b).
(Observação: para obter valores numéricos substitua nas fórmulas acima as frações molares \{y_i\} do problema; não foi possível calcular números finais porque as frações não foram fornecidas.)

Exercícios relacionados