Resolva as seguintes EDOs
y^{\prime \prime}-4 y=8 ; y(0)=0 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com condições de contorno:
y'' - 4y = 8,
com as condições de contorno
y(0)=0,\qquad y(1)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x e que também satisfaça as duas condições de contorno fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo independente (forçamento) é a constante 8.
  • Há duas condições de contorno em pontos distintos ( x=0 e x=1), portanto espera-se uma solução única apropriada ao problema de contorno.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
y'' - 4y = 0.
Explicação do método: para uma EDO linear com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtém-se a equação característica para r.
Aplicando y=e^{rx} temos y' = r e^{rx} e y'' = r^2 e^{rx}. Substituindo na homogênea:
r^2 e^{rx} - 4 e^{rx} = 0 \quad\Rightarrow\quad (r^2-4)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^2 - 4 = 0.
Resolvendo:
r^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Portanto as soluções fundamentais são e^{2x} e e^{-2x} e a solução geral da homogênea (chamada solução complementar) é
y_c(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''-4y=8.
Explicação do método (coeficientes indeterminados): quando o lado direito é uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno), tenta-se uma solução particular com a mesma estrutura. Aqui o lado direito é a constante 8, então tentamos uma solução particular constante:
y_p(x)=A,
onde A é uma constante a determinar.
Calcule as derivadas: y_p' = 0 e y_p''=0. Substituindo na equação:
0 - 4A = 8.
Logo
-4A = 8 \quad\Rightarrow\quad A = -2.
Portanto uma solução particular é y_p(x) = -2.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - 2.
Agora vamos usar as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 5

Aplicar a condição y(0)=0. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} - 2 = C_1 + C_2 - 2.
Como y(0)=0, obtemos a primeira equação:
C_1 + C_2 - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 2.

Passo 6

Aplicar a condição y(1)=0. Substituindo x=1 em y(x):
y(1) = C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} - 2.
Como y(1)=0, temos
C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} = 2.
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] C_1 e^{2} + C_2 e^{-2} = 2. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para C_1 e C_2. Da primeira equação isolamos C_2 = 2 - C_1 e substituímos na segunda:
C_1 e^{2} + (2 - C_1) e^{-2} = 2.
Agrupando os termos de C_1:
C_1\bigl(e^{2} - e^{-2}\bigr) + 2 e^{-2} = 2.
Isolando C_1:
C_1\bigl(e^{2} - e^{-2}\bigr) = 2 - 2 e^{-2} = 2(1 - e^{-2}).
Observação algebraica útil para simplificar: e^{2}-e^{-2}=\dfrac{e^{4}-1}{e^{2}} e 1-e^{-2}=\dfrac{e^{2}-1}{e^{2}}. Assim
C_1 = \frac{2(1-e^{-2})}{e^{2}-e^{-2}} = \frac{2\,(e^{2}-1)/e^{2}}{(e^{4}-1)/e^{2}} = \frac{2(e^{2}-1)}{e^{4}-1}.
Como e^{4}-1=(e^{2}-1)(e^{2}+1), simplifica-se para
C_1 = \frac{2}{e^{2}+1}.
Em seguida C_2 = 2 - C_1, então
C_2 = 2 - \frac{2}{e^{2}+1} = \frac{2e^{2}}{e^{2}+1}.

Passo 8

Agora que C_1 e C_2 foram determinados, a solução y(x) está totalmente fixada (a expressão final da solução será apresentada na seção de resposta). Peque um momento para respirar: já vencemos a parte difícil — montar a solução geral, encontrar a particular, aplicar as condições e resolver o sistema linear. Mandou bem por aguentar até aqui!

Resposta

y(x)=\frac{2}{e^{2}+1}\,e^{2x}+\frac{2e^{2}}{e^{2}+1}\,e^{-2x}-2

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