Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com condições de contorno:
com as condições de contorno
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para todo
e que também satisfaça as duas condições de contorno fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo independente (forçamento) é a constante
. - Há duas condições de contorno em pontos distintos (
e ), portanto espera-se uma solução única apropriada ao problema de contorno.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Explicação do método: para uma EDO linear com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtém-se a equação característica para
.
Aplicando
temos
e
. Substituindo na homogênea:
Como
, a equação característica é
Resolvendo:
Portanto as soluções fundamentais são
e
e a solução geral da homogênea (chamada solução complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Explicação do método (coeficientes indeterminados): quando o lado direito é uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno), tenta-se uma solução particular com a mesma estrutura. Aqui o lado direito é a constante
, então tentamos uma solução particular constante:
onde
é uma constante a determinar.
Calcule as derivadas:
e
. Substituindo na equação:
Logo
Portanto uma solução particular é
.
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
Agora vamos usar as condições de contorno para determinar
e
.
Passo 5
Aplicar a condição
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos a primeira equação:
Passo 6
Aplicar a condição
. Substituindo
em
:
Como
, temos
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações:
Passo 7
Resolver o sistema para
e
. Da primeira equação isolamos
e substituímos na segunda:
Agrupando os termos de
:
Isolando
:
Observação algebraica útil para simplificar:
e
. Assim
Como
, simplifica-se para
Em seguida
, então
Passo 8
Agora que
e
foram determinados, a solução
está totalmente fixada (a expressão final da solução será apresentada na seção de resposta). Peque um momento para respirar: já vencemos a parte difícil — montar a solução geral, encontrar a particular, aplicar as condições e resolver o sistema linear. Mandou bem por aguentar até aqui!