Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(2 x^{2} y-2 y+1\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2 x^{2}y - 2y + 1)\,dx \;-\; x\,dy \;=\;0
e pede a solução geral. Vamos ver que se trata de uma EDO linear em y(x) e usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por dx e isolando dy/dx, obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{2 x^{2}y - 2y + 1}{x} =2x\,y \;-\;\frac{2}{x}\,y \;+\;\frac{1}{x}.
Isso mostra que a EDO está na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com
P(x)=-2x+\frac{2}{x}, \quad Q(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) =\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int\bigl(-2x+\tfrac{2}{x}\bigr)dx\Bigr) =\exp\bigl(-x^2+2\ln|x|\bigr) =x^2e^{-x^2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x). O lado esquerdo vira a derivada de \mu\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2e^{-x^2}y\bigr) =x^2e^{-x^2}\,\frac{1}{x} =x e^{-x^2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\int\frac{d}{dx}\bigl(x^2e^{-x^2}y\bigr)\,dx =\int x e^{-x^2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^2e^{-x^2}y =-\tfrac12\,e^{-x^2}+C.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por e^{x^2} e dividimos por x^2:
x^2y=-\tfrac12+Ce^{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{Ce^{x^2}-\tfrac12}{x^2}.

Resposta

A solução geral pode ser escrita implicitamente como
x^2y+\tfrac12=C\,e^{x^2}
ou explicitamente como
y=\frac{Ce^{x^2}-\tfrac12}{x^2},
onde C é a constante de integração.

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