Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
2 x y d x-\left(3 x^{2}+y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2\,x\,y\,dx \;-\;(3\,x^{2}+y^{2})\,dy = 0.
Aqui o conteúdo é resolução de equação diferencial de grau de homogeneidade usando a substituição y= v\,x.

Passo 2

Reescrevendo em forma \tfrac{dy}{dx}, temos
2\,x\,y\,dx = (3\,x^{2}+y^{2})\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2\,x\,y}{3\,x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Como o termo à direita é homogêneo de grau zero, fazemos y = v\,x. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx},
e a equação fica
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{2\,x\,(v\,x)}{3\,x^{2}+(v\,x)^{2}} = \frac{2\,v}{3+v^{2}}.
Isolando \frac{dv}{dx},
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{2\,v}{3+v^{2}} - v = v\biggl(\frac{2}{3+v^{2}} - 1\biggr) = -\,\frac{v\,(v^{2}+1)}{3+v^{2}},
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\frac{dv}{dx} = -\,\frac{v\,(v^{2}+1)}{(3+v^{2})\,x}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{3+v^{2}}{v\,(v^{2}+1)}\,dv = -\,\frac{dx}{x}.
Fazendo a decomposição em frações parciais,
\frac{3+v^{2}}{v\,(v^{2}+1)} = \frac{A}{v} + \frac{B\,v + C}{v^{2}+1},
resolve-se A=3, B=-2, C=0. Assim
\int\frac{3+v^{2}}{v\,(v^{2}+1)}\,dv = \int\Bigl(\frac{3}{v} - \frac{2\,v}{v^{2}+1}\Bigr)\,dv = 3\ln|v| - \ln(v^{2}+1) + K.
Do outro lado,
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + K'.
Igualando,
3\ln|v| - \ln(v^{2}+1) = -\ln|x| + C.

Passo 5

Voltando a v=\tfrac{y}{x} e exponenciando,
\ln\frac{v^{3}}{v^{2}+1} = -\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y/x)^{3}}{1+(y/x)^{2}} = \frac{C_{1}}{x}.
Multiplicando e simplificando,
\frac{y^{3}}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{C_{1}}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{y^{3}}{x\,(x^{2}+y^{2})} = \frac{C_{1}}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

\boxed{\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = C,}
onde C é constante de integração.

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