Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(x y^{2}-y\right) d x-d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x\,y^{2}-y)\,dx - dy = 0
que podemos reescrever como uma equação de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx} + y = x\,y^{2}.
O conteúdo utilizado será a transformação de Bernoulli e a resolução de uma equação linear em u.

Passo 2

Reconhecemos que
\frac{dy}{dx} + y = x\,y^{2}
é uma equação de Bernoulli com expoente n=2. Aplicamos a mudança de variável
u = y^{1-n} = y^{-1}.

Passo 3

Derivando u em relação a x e usando a equação original, temos
\frac{du}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} = x\,y^{2}-y.
Substituindo em \tfrac{du}{dx} obtemos
\frac{du}{dx} = -\bigl(x - y^{-1}\bigr) = -x + u,
ou seja
\frac{du}{dx} - u = -x.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} - u = -x
calculamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}. Multiplicando a equação por e^{-x} fica
e^{-x}\frac{du}{dx} - e^{-x}u = -x\,e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-x}\bigr) = -x\,e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
u\,e^{-x} = \int -x\,e^{-x}\,dx + C.
Fazendo integração por partes ou lembrando que \int -x\,e^{-x}dx = (x+1)e^{-x}, obtemos
u\,e^{-x} = (x+1)e^{-x} + C \quad\Longrightarrow\quad u = x+1 + C\,e^{x}.

Passo 6

Relembrando u = y^{-1}, concluímos
\frac{1}{y} = x+1 + C\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\,x+1 + C\,e^{x}\,}.

Resposta

y = \frac{1}{\,x+1 + C\,e^{x}\,}.

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