Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
e^{x}(1+y) \frac{d y}{d x}+\left(1+e^{x}\right)\left(y^{2}+y-2\right)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{x}(1+y)\,\frac{dy}{dx} + \bigl(1+e^{x}\bigr)\bigl(y^{2}+y-2\bigr)=0
que é um caso de equação separável. Vamos isolar \frac{dy}{dx} e separar as variáveis x e y para integrar em cada lado.

Passo 2

Isolando \frac{dy}{dx}, dividimos a equação por e^{x}(1+y), supondo 1+y\neq0:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1+e^{x}}{e^{x}(1+y)}\;(y^{2}+y-2) = -\bigl(e^{-x}+1\bigr)\,\frac{y^{2}+y-2}{y+1}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
\frac{y+1}{y^{2}+y-2}\,dy = -\bigl(1 + e^{-x}\bigr)\,dx.
Note que y^{2}+y-2=(y-1)(y+2), então o lado esquerdo será tratado por frações parciais.

Passo 4

Fazendo frações parciais em
\frac{y+1}{(y-1)(y+2)} =\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+2},
temos
y+1 = A(y+2)+B(y-1) \;\Longrightarrow\; A+B=1,\; 2A - B=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac{2}{3},\;B=\tfrac{1}{3}.
Portanto
\frac{y+1}{y^{2}+y-2} =\frac{2/3}{y-1} + \frac{1/3}{y+2}.
Integramos cada lado:
\int\!\Bigl(\tfrac{2/3}{y-1}+\tfrac{1/3}{y+2}\Bigr)dy = \tfrac{2}{3}\ln|y-1| + \tfrac{1}{3}\ln|y+2|
e
-\int\!\bigl(1+e^{-x}\bigr)dx = -x + e^{-x} + C.

Passo 5

Juntando os resultados:
\tfrac{2}{3}\ln|y-1| + \tfrac{1}{3}\ln|y+2| = -x + e^{-x} + C.
Multiplicando por 3 e exponenciando, obtemos a solução implícita geral:
\ln\bigl(|y-1|^{2}\,|y+2|\bigr) = -3x + 3e^{-x} + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad |y-1|^{2}\,\bigl|y+2\bigr| = K\,e^{-3x+3e^{-x}},
onde K=e^{C_{1}} é constante arbitrária que absorve o sinal.

Resposta

(y-1)^{2}(y+2) = K\,e^{-3x+3e^{-x}},
com K constante de integração.

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