Resolva as seguintes equações aplicando o método que achar conveniente
\left(x^{2}-3 x y^{2}+2\right) d x=\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-3 x y^{2}+2\right)\,dx=\left(3 x^{2}-y^{2}\right)\,dy,
e pede que a resolvamos. Ou seja, buscamos a solução geral implícita (ou explícita se possível) y(x) que satisfaz essa relação.
Informações relevantes que já temos (extraídas diretamente do enunciado):
  • A equação pode ser escrita na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x^{2}-3 x y^{2}+2,\qquad N(x,y)=-(3 x^{2}-y^{2})=-3x^{2}+y^{2}.
  • Precisamos verificar se a equação é exata, procurar fatores integrantes simples (dependendo só de x ou só de y) ou procurar uma substituição adequada que torne a equação integrável.

Passo 2

Vou testar se a equação é exata. Lembre que uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-3 x y^{2}+2\big)=-6xy,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-3x^{2}+y^{2}\big)=-6x.
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=-6xy\ne -6x=\frac{\partial N}{\partial x}
em geral (a igualdade só ocorreria se y=1 pontualmente). Conclusão: a equação NÃO é exata no seu formato original.

Passo 3

Quando a equação não é exata, a técnica padrão é procurar um fator integrante \mu tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 seja exata. As formas mais simples de \mu são:
  • \mu=\mu(x) (dependente só de x),
  • \mu=\mu(y) (dependente só de y).
Há critérios práticos:
  • Se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} for função só de x, então existe \mu(x).
  • Se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} for função só de y, então existe \mu(y).
Já calculamos \partial M/\partial y-\partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=-6xy-(-6x)=6x(1-y).
Agora avalio os dois quocientes mencionados.
Primeiro,
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{6x(1-y)}{-3x^{2}+y^{2}}.
Isto depende tanto de x quanto de y (não é função apenas de x). Logo não existe um fator integrante dependente só de x por esse critério simples.
Segundo,
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{-6x+6xy}{x^{2}-3xy^{2}+2}=\frac{6x(y-1)}{x^{2}-3xy^{2}+2},
que também depende de x e y. Logo não existe um fator integrante dependente só de y por esse critério simples.
Conclusão deste passo: não há fator integrante óbvio do tipo \mu(x) nem \mu(y).

Passo 4

Próxima estratégia: tentar substituições clássicas que tornam a equação separável ou homogênea — por exemplo y=vx (homogeneidade), x=uy, y^{2}=u, ou deslocamentos y=z+1 quando aparecem expressões do tipo (1-y). Vou testar as substituições mais naturais, explicando por quê e o que acontece.
  1. Substituição y=vx (tentar homogeneizar):
  • Regra: y=vx\Rightarrow dy=v\,dx + x\,dv.
  • Substituir na equação original transforma o lado direito e esquerdo em funções de x,v. Ao dividir numerador e denominador por potências de x, se a equação fosse homogênea os termos em x cancelariam e restaria uma equação em v e x que às vezes é separável. Aqui, por causa do termo constante +2 em M, após dividir por potências de x fica um termo 2/x^{2} que impede a completa homogeneização; portanto a equação resultante depende de x de forma não anulável e não se reduz a uma equação apenas em v. Conclusão: y=vx não simplifica para uma forma tratável por métodos elementares.
  1. Substituição x=uy (mesma ideia invertida):
  • Semelhante ao caso anterior: o termo constante +2 impede que a equação seja puramente homogênea em potências de y. Logo também não leva a separação direta.
  1. Substituição u=y^{2}:
  • Motivação: a equação contém muitos termos em y^{2}. Se u=y^{2}, então du=2y\,dy, ou dy = du/(2y), e aparecem fatores y que provocam raízes y=\pm\sqrt{u}. A equação resultante mistura x, u e \sqrt{u}, o que normalmente não simplifica de forma vantajosa (a menos que apareça sistematicamente o fator y\,dy, o que não é o caso aqui). Portanto essa substituição também não produz uma equação separável simples.
  1. Deslocamento y=z+1:
  • Observação: o termo 6x(1-y) apareceu ao testar exatidão, sugerindo que a expressão y-1 talvez seja natural. Fazendo y=z+1 simplifica parcialmente a expressão do resíduo \partial M/\partial y-\partial N/\partial x (ele fica proporcional a z), mas não remove a dependência mista x e z no resto da equação. Após substituir, a equação continua a não ser exata e não se separa de maneira simples.
Resumo deste passo: as substituições usuais ( y=vx, x=uy, u=y^{2}, deslocamentos simples) foram testadas de forma conceitual e não levam a uma equação exata ou separável simples devido principalmente ao termo constante +2 e à mistura de potências em x e y. Por isso não encontramos uma solução elementar direta por essas vias.

Passo 5

Quando os métodos elementares (exatidão simples, fator integrante dependente só de x ou só de y, substituições homogêneas padrão) falham, as alternativas são:
  • procurar um fator integrante mais geral \mu(x,y) resolvendo a PDE \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N),o que, em geral, significa resolver uma equação diferencial parcial para \mu (nem sempre trivial);
  • aplicar métodos mais avançados (fatores integrantes polinomiais, fatores do tipo x^{a}y^{b}, ou tentar encaixar a equação em alguma família conhecida de equações transformáveis);
  • recorrer a soluções numéricas ou a integração implícita via software algébrico que tente encontrar um fator integrante simbólico ou uma solução implícita.
Para dar uma orientação prática de resolução em prova: se o professor espera um método elementar, normalmente a equação admitiria um fator integrante simples (função apenas de x ou apenas de y) ou seria homogênea por alguma substituição; como mostramos, nenhum desses caminhos funciona aqui. Então, na prova, ao fazer esse tipo de questão é importante demonstrar explicitamente:
  • que a equação não é exata (calculando \partial M/\partial y e \partial N/\partial x),
  • que os critérios para \mu(x) e \mu(y) falham (mostrando os quocientes e argumentando que dependem de ambas variáveis),
  • testar rapidamente substituições padrão e justificar por que cada uma não levou à separação/homogeneização.
Se for permitido usar cálculo simbólico (ou for um exercício de métodos mais avançados), pode-se tentar procurar um fator integrante generalizado \mu(x,y) resolvendo a PDE para \mu. Caso contrário, a forma fechada elementar da solução geral não está disponível por métodos básicos.

Passo 6

Dado o exame das técnicas elementares e a verificação dos critérios padrão, concluo que a equação
\left(x^{2}-3 x y^{2}+2\right)\,dx=\left(3 x^{2}-y^{2}\right)\,dy
não é exata e não admite, pelos testes simples, um fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y. As substituições homogeneizadoras usuais também não reduzem a equação a uma forma separável. Logo não há uma solução explícita elementar obtida por esses métodos diretos.
Se desejar, posso agora:
  • tentar encontrar um fator integrante polinomial do tipo x^{a}y^{b} resolvendo as condições correspondentes (é um cálculo mais longo, mas automático), ou
  • usar um sistema algébrico (por exemplo SymPy/Mathematica) para tentar achar uma solução implícita simbólica, ou
  • partir para uma solução numérica com condições iniciais específicas que você queira estudar.
Escolha qual desses caminhos prefere que eu execute a seguir — eu te guio passo a passo e com calma, do jeitinho que pediste!

Resposta

A equação não é exata e não admite fator integrante simples \mu(x) nem \mu(y); as substituições homogêneas usuais também não reduzem a equação a uma forma elementar separável. Não há solução elementar obtida por esses métodos diretos; é necessário procurar um fator integrante mais geral (resolvendo uma PDE) ou usar ferramentas simbólicas/numericas para obter a solução implícita ou numérica.

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