Seja A uma matriz quadrada, a n-ésima potência de A, A^{n}, é o produto da forma \underbrace{A . A \ldots A}_{n}. Calcule A^{2}, A^{3}, A^{4} e A^{5}, \operatorname{com} A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A e pede para calcular as potências A^{2}, A^{3}, A^{4} e A^{5}. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular A^{2}.
  • Calcular A^{3}.
  • Calcular A^{4}.
  • Calcular A^{5}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos de A são todos explícitos e mostrados acima.]

Passo 2

Como vamos multiplicar matrizes, primeiro um lembrete prático e didático de como se calcula o produto de duas matrizes.
Se B e C são matrizes compatíveis para multiplicação e o produto é D=BC, então cada entrada D_{ij} (linha i, coluna j) é dada por
D_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{ik}\,C_{kj},
ou seja, pega-se a linha i de B e a coluna j de C, multiplica termo a termo e soma. Vou usar essa regra sempre que fizer multiplicações explícitas.

Passo 3

Observação útil sobre A: escrevemos A como soma da identidade mais uma matriz com apenas um elemento não nulo. Defina
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Note que A=I+E porque somando I e E recupera exatamente A.]

Passo 4

Agora uma propriedade importantíssima e muito prática: verificar o quadrado de E. Vamos calcular E^{2} usando a regra de produto de matrizes.
O único elemento não nulo de E é E_{31}=1. Para achar E^{2}, calcule cada entrada (E^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} E_{ik}E_{kj}. Como todas as linhas excepto a terceira de E são zero, e todas as colunas excepto a primeira são zero, todas essas somas passam a ser zero. Por exemplo,
(E^{2})_{31}=\sum_{k=1}^{3}E_{3k}E_{k1}=E_{31}E_{11}+E_{32}E_{21}+E_{33}E_{31}=1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Analogamente, qualquer outra entrada dá zero. Logo
E^{2}=0\quad\text{(a matriz nula)}.
Dizemos que E é nilpotente de índice 2.

Passo 5

Agora usemos a expansão binomial de matrizes para (I+E)^{n}. Para matrizes que comutam (aqui I comuta com qualquer matriz), vale a expansão
(I+E)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}E^{k}.
Como vimos no passo anterior E^{2}=0, todos os termos com k\ge 2 desaparecem. Portanto a soma reduz-se a
(I+E)^{n} = \binom{n}{0}E^{0} + \binom{n}{1}E^{1} = I + nE.
Esse é o truque que simplifica tudo: para nossa matriz A=I+E temos
A^{n}=(I+E)^{n}=I + nE.

Passo 6

Interprete a fórmula A^{n}=I+nE em termos das entradas da matriz: I tem 1’s na diagonal e zeros nos outros lugares; E tem apenas o elemento E_{31}=1. Então nE tem apenas um elemento não nulo, (nE)_{31}=n. Assim A^{n} é a matriz que tem 1 na posição (1,1), 1 em (2,2), 1 em (3,3), e o único elemento fora da diagonal diferente de zero é (3,1)=n. Em forma matricial,
A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] n & 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso é válido para todo n\in\mathbb{N}.]

Passo 7

Aplicando a fórmula para n=2,3,4,5 obtemos as potências pedidas (aqui apenas aplicando n na fórmula já obtida).

Resposta

A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix}
A^{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix}
A^{4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 4 & 0 & 1\end{pmatrix}
A^{5}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 5 & 0 & 1\end{pmatrix}

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