Seja A uma matriz quadrada, a n-ésima potência de A, A^{n}, é o produto da forma \underbrace{A . A \ldots A}_{n}. Calcule A^{2}, A^{3}, A^{4} e A^{5}, \operatorname{com} A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada A e pede para calcular as potências A^{2}, A^{3}, A^{4} e A^{5}. A matriz fornecida é
Note que A=I+E porque somando I e E recupera exatamente A.]
Passo 4
Agora uma propriedade importantíssima e muito prática: verificar o quadrado de E. Vamos calcular E^{2} usando a regra de produto de matrizes.
O único elemento não nulo de E é E_{31}=1. Para achar E^{2}, calcule cada entrada (E^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} E_{ik}E_{kj}. Como todas as linhas excepto a terceira de E são zero, e todas as colunas excepto a primeira são zero, todas essas somas passam a ser zero. Por exemplo,
Analogamente, qualquer outra entrada dá zero. Logo
E^{2}=0\quad\text{(a matriz nula)}.
Dizemos que E é nilpotente de índice 2.
Passo 5
Agora usemos a expansão binomial de matrizes para (I+E)^{n}. Para matrizes que comutam (aqui I comuta com qualquer matriz), vale a expansão
(I+E)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}E^{k}.
Como vimos no passo anterior E^{2}=0, todos os termos com k\ge 2 desaparecem. Portanto a soma reduz-se a
(I+E)^{n} = \binom{n}{0}E^{0} + \binom{n}{1}E^{1} = I + nE.
Esse é o truque que simplifica tudo: para nossa matriz A=I+E temos
A^{n}=(I+E)^{n}=I + nE.
Passo 6
Interprete a fórmula A^{n}=I+nE em termos das entradas da matriz: I tem 1’s na diagonal e zeros nos outros lugares; E tem apenas o elemento E_{31}=1. Então nE tem apenas um elemento não nulo, (nE)_{31}=n. Assim A^{n} é a matriz que tem 1 na posição (1,1), 1 em (2,2), 1 em (3,3), e o único elemento fora da diagonal diferente de zero é (3,1)=n. Em forma matricial,