Mostre que, se
e
são matrizes anti-simétricas de ordem
, então
e
, com
, também o são.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o quê:
-
Informações dadas:
-
e são matrizes anti-simétricas de ordem . Ou seja, por definição, -
é um escalar real.
-
-
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é anti-simétrica. - Mostrar que
é anti-simétrica.
- Mostrar que
Passo 2
Lembrando uma propriedade básica da transposição que usaremos (aqui está o conceito que preciso que você entenda bem):
- A transposição é linear: para quaisquer matrizes
e de mesma ordem e qualquer escalar real vale
Vou justificar essas duas igualdades de forma elementar (por componentes), para você ter segurança total sobre elas.
Passo 3
Prova componente a componente da linearidade da transposição:
-
Para a soma: seja
. O elemento -ésimo de é . Pela definição de transposta, . Mas e . Portanto, para todo , o que implica matricialmente. -
Para o escalar: seja
. Então . Logo válida para todo, implicando .
Essas demonstrações são simples e só usam a definição de transposta e a aritmética de escalares.
Passo 4
Agora mostro que
é anti-simétrica usando a linearidade do transposto e a hipótese
,
.
Começo calculando a transposta de
:
Pelo fato de
e
serem anti-simétricas, substituo
e
:
Como a definição de matriz anti-simétrica exige exatamente que a transposta seja o negativo da matriz, concluímos que
é anti-simétrica.
Passo 5
Agora mostro que
é anti-simétrica. Uso a propriedade
e a hipótese
:
Portanto
satisfaz
, logo
é anti-simétrica.
Passo 6
Pequena ilustração prática (exemplo 2×2) para fixar a ideia:
- Considere
com . Então que é claramente anti-simétrica (a transposta troca o sinal das entradas fora da diagonal). E para um escalar , também anti-simétrica. Esse exemplo mostra concretamente o que as igualdades gerais já provaram.