Mostre que, se A e B são matrizes anti-simétricas de ordem n, então A+B e \lambda A, com \lambda \in \mathbb{R}, também o são.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o quê:
  • Informações dadas:
    • A e B são matrizes anti-simétricas de ordem n. Ou seja, por definição, A^{T} = -A \qquad\text{e}\qquad B^{T} = -B.
    • \lambda\in\mathbb{R} é um escalar real.
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que A+B é anti-simétrica.
    • Mostrar que \lambda A é anti-simétrica.

Passo 2

Lembrando uma propriedade básica da transposição que usaremos (aqui está o conceito que preciso que você entenda bem):
  • A transposição é linear: para quaisquer matrizes C e D de mesma ordem e qualquer escalar real \lambda vale (C+D)^{T} = C^{T} + D^{T}, \qquad (\lambda C)^{T} = \lambda C^{T}.
Vou justificar essas duas igualdades de forma elementar (por componentes), para você ter segurança total sobre elas.

Passo 3

Prova componente a componente da linearidade da transposição:
  • Para a soma: seja E = C+D. O elemento (i,j)-ésimo de E é E_{ij} = C_{ij}+D_{ij}. Pela definição de transposta, (C+D)^{T}_{ij} = E_{ji} = C_{ji}+D_{ji}. Mas C^{T}_{ij}=C_{ji} e D^{T}_{ij}=D_{ji}. Portanto, para todo i,j,
    (C+D)^{T}_{ij} = C^{T}_{ij} + D^{T}_{ij},
    o que implica matricialmente (C+D)^{T} = C^{T} + D^{T}.
  • Para o escalar: seja F=\lambda C. Então F_{ij} = \lambda C_{ij}. Logo
    (\lambda C)^{T}_{ij} = F_{ji} = \lambda C_{ji} = \lambda C^{T}_{ij},
    válida para todo i,j, implicando (\lambda C)^{T} = \lambda C^{T}.
Essas demonstrações são simples e só usam a definição de transposta e a aritmética de escalares.

Passo 4

Agora mostro que A+B é anti-simétrica usando a linearidade do transposto e a hipótese A^{T}=-A, B^{T}=-B.
Começo calculando a transposta de A+B:
(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}.
Pelo fato de A e B serem anti-simétricas, substituo A^{T}=-A e B^{T}=-B:
(A+B)^{T} = -A + (-B) = -(A+B).
Como a definição de matriz anti-simétrica exige exatamente que a transposta seja o negativo da matriz, concluímos que A+B é anti-simétrica.

Passo 5

Agora mostro que \lambda A é anti-simétrica. Uso a propriedade (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T} e a hipótese A^{T}=-A:
(\lambda A)^{T} = \lambda A^{T} = \lambda(-A) = -(\lambda A).
Portanto \lambda A satisfaz (\lambda A)^{T}=-(\lambda A), logo \lambda A é anti-simétrica.

Passo 6

Pequena ilustração prática (exemplo 2×2) para fixar a ideia:
  • Considere A=\begin{pmatrix}0 & a\\\\ -a & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & b\\\\ -b & 0\end{pmatrix},com a,b\in\mathbb{R}. Então A+B=\begin{pmatrix}0 & a+b\\\\ -(a+b) & 0\end{pmatrix},que é claramente anti-simétrica (a transposta troca o sinal das entradas fora da diagonal). E para um escalar \lambda, \lambda A=\begin{pmatrix}0 & \lambda a\\\\ -\lambda a & 0\end{pmatrix},também anti-simétrica. Esse exemplo mostra concretamente o que as igualdades gerais já provaram.

Resposta

A+B é anti-simétrica, pois (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}= -A + (-B)=-(A+B).\n \lambda A é anti-simétrica, pois (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}=\lambda(-A)=-(\lambda A).

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