Resolva as seguintes equações:
\cos (2 x)=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right), no intervalo [0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\cos(2x)=\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)
no intervalo [0,2\pi].
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas para transformar a equação e depois achar as raízes no intervalo dado.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)=\cos(x)
para reescrever a equação original como
\cos(2x)=\cos(x).

Passo 3

Passamos tudo para um lado:
\cos(2x)-\cos(x)=0.
Aplicando a fórmula de diferença de cossenos
\cos A-\cos B=-2\sin\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr),
com A=2x e B=x, obtemos
-2\sin\Bigl(\frac{2x+x}{2}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{2x-x}{2}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \sin\Bigl(\frac{3x}{2}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)=0.

Passo 4

Da fatoração \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)=0, temos duas possibilidades:
(i) \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=0.
Isso dá
\frac{x}{2}=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \;\Longrightarrow\; x=2k\pi.
No intervalo [0,2\pi], as soluções são
x=0,\;2\pi.

Passo 5

(ii) \sin\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)=0.
Isso dá
\frac{3x}{2}=m\pi,\quad m\in\mathbb{Z} \;\Longrightarrow\; x=\frac{2m\pi}{3}.
No intervalo [0,2\pi], tomamos m=0,1,2,3, obtendo
x=0,\;\frac{2\pi}{3},\;\frac{4\pi}{3},\;2\pi.

Passo 6

Unindo todas as soluções em [0,2\pi] e eliminando repetições, ficamos com
x=0,\;\frac{2\pi}{3},\;\frac{4\pi}{3},\;2\pi.

Resposta

x=0,\;\dfrac{2\pi}{3},\;\dfrac{4\pi}{3},\;2\pi.

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