Resolva as seguintes equações:
\operatorname{sen}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sin\bigl(x - \tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\tfrac{1}{2}.
O conteúdo aqui é equação trigonométrica básica, e vamos precisar usar as soluções gerais de \sin t = -\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Defina a mudança de variável
t = x - \tfrac{\pi}{2}.
Assim a equação fica
\sin t = -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Sabemos que \sin t = -\tfrac{1}{2} acontece nos ângulos do terceiro e quarto quadrantes, cujas soluções gerais são
t = \tfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad t = \tfrac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Voltando à variável x, temos duas famílias:
  1. x - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{7\pi}{6} + 2\pi k
x = \tfrac{7\pi}{6} + \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k = \tfrac{10\pi}{6} + 2\pi k = \tfrac{5\pi}{3} + 2\pi k.
  1. x - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{11\pi}{6} + 2\pi k
x = \tfrac{11\pi}{6} + \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k = \tfrac{14\pi}{6} + 2\pi k = \tfrac{7\pi}{3} + 2\pi k = 2\pi + \tfrac{\pi}{3} + 2\pi k.
Como 2\pi + 2\pi k = 2\pi(k+1), basta reescrever a segunda família como x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

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