Resolva as seguintes equações diferenciais:
(03)
(03)
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
Informações dadas: a equação relaciona a derivada
com uma função do
no numerador (
) e uma função do
no denominador (
). Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Observação sobre o tipo da equação (por que escolhemos o método): note que o lado direito é um quociente cuja parte que depende de
está separada da parte que depende de
: o numerador é função só de
e o denominador é função só de
. Quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função só de
por uma função só de
(ou, equivalentemente, um quociente onde numerador é só de
e denominador só de
), dizemos que a equação é separável. Nesses casos podemos “separar” as variáveis
e
em lados opostos e integrar. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Separação das variáveis: multiplico ambos os lados por
e por
(operações permitidas se considerarmos intervalos onde essas funções são bem definidas), obtendo
Isto coloca todos os termos com
do lado esquerdo e todos os termos com
do lado direito — exatamente o que queremos para integrar.
Passo 4
Integração dos dois lados: agora integramos cada lado em relação à sua variável.
Primeiro, explicando as integrais que vamos usar:
Primeiro, explicando as integrais que vamos usar:
-
, porque a regra é . -
, pois a derivada de é . -
. -
, porque ao derivar aparece .
Aplicando essas integrais:
Calculando cada integral:
onde
é a constante de integração (apareceu apenas de um lado, pois basta uma constante geral — poderíamos colocar constantes em ambos os lados e juntá-las numa única constante).
Passo 5
Interpretação da solução e forma final: a equação obtida é a solução implícita geral da equação diferencial. Não é possível, em termos elementares, isolar
de forma explícita por funções elementares porque temos
somado a
; portanto a forma implícita é a resposta adequada para a solução geral. Podemos reescrever para enfatizar a constante arbitrária:
Se houver condição inicial, substituiríamos
e
dados para determinar
.