Resolva as seguintes equações diferenciais:
(03) d y / d x=\left(x-e^{-x}\right) /\left(y+e^{y}\right)

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com uma função do x no numerador ( x-e^{-x}) e uma função do y no denominador ( y+e^{y}). Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Observação sobre o tipo da equação (por que escolhemos o método): note que o lado direito é um quociente cuja parte que depende de x está separada da parte que depende de y: o numerador é função só de x e o denominador é função só de y. Quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função só de x por uma função só de y (ou, equivalentemente, um quociente onde numerador é só de x e denominador só de y), dizemos que a equação é separável. Nesses casos podemos “separar” as variáveis x e y em lados opostos e integrar. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Separação das variáveis: multiplico ambos os lados por y+e^{y} e por dx (operações permitidas se considerarmos intervalos onde essas funções são bem definidas), obtendo
(y+e^{y})\,dy = (x-e^{-x})\,dx.
Isto coloca todos os termos com y do lado esquerdo e todos os termos com x do lado direito — exatamente o que queremos para integrar.

Passo 4

Integração dos dois lados: agora integramos cada lado em relação à sua variável.
Primeiro, explicando as integrais que vamos usar:
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}, porque a regra é \int u\,du = u^{2}/2.
  • \displaystyle \int e^{y}\,dy = e^{y}, pois a derivada de e^{y} é e^{y}.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, porque ao derivar -e^{-x} aparece (-1)(-e^{-x})=e^{-x}.
Aplicando essas integrais:
\int (y+e^{y})\,dy = \int (x-e^{-x})\,dx.
Calculando cada integral:
\frac{y^{2}}{2}+e^{y} = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração (apareceu apenas de um lado, pois basta uma constante geral — poderíamos colocar constantes em ambos os lados e juntá-las numa única constante).

Passo 5

Interpretação da solução e forma final: a equação obtida é a solução implícita geral da equação diferencial. Não é possível, em termos elementares, isolar y de forma explícita por funções elementares porque temos y^{2}/2 somado a e^{y}; portanto a forma implícita é a resposta adequada para a solução geral. Podemos reescrever para enfatizar a constante arbitrária:
\frac{y^{2}}{2}+e^{y}-\frac{x^{2}}{2}-e^{-x}=C.
Se houver condição inicial, substituiríamos x e y dados para determinar C.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}}{2}+e^{y}=\frac{x^{2}}{2}+e^{-x}+C

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