Nos problemas abaixo, encontre um fator integrante para a EDO não exata e resolva a equação dada.
2.2 d x+\left(\frac{x}{y}-\operatorname{sen} y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante para a EDO não exata e, em seguida, resolver a equação. A equação dada é
2{,}2\,dx+\left(\frac{x}{y}-\operatorname{sen} y\right)dy=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação pode ser escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Aqui temos M(x,y)=2{,}2 e N(x,y)=\dfrac{x}{y}-\operatorname{sen} y.
  • O objetivo: achar um fator integrante (dependendo de x ou de y, se possível) que torne a equação exata, e então integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{y}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} (ou seja, 0\neq 1/y), a equação não é exata. Precisamos, portanto, de um fator integrante \mu tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.

Passo 3

Testamos fatores integrantes que dependem somente de x ou somente de y. Para \mu=\mu(x) a condição é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função só de x. Calculando,
\frac{0-\tfrac{1}{y}}{\tfrac{x}{y}-\operatorname{sen} y}=-\frac{1}{x-y\operatorname{sen} y},
que depende de y, logo não é função só de x. Então não serve.
Para \mu=\mu(y) a condição é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
seja função só de y. Calculando com M=2{,}2, obtemos
\frac{\tfrac{1}{y}-0}{2{,}2}=\frac{1}{2{,}2\,y}.
Isto depende apenas de y. Portanto existe um fator integrante que depende só de y.
Observação numérica útil: 2{,}2=\dfrac{11}{5}, assim
\frac{1}{2{,}2\,y}=\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{y}.

Passo 4

Para achar \mu(y) usamos a equação diferencial logarítmica
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{1}{2{,}2\,y}=\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{y}.
Integramos:
\ln\mu(y)=\int \frac{5}{11}\cdot\frac{1}{y}\,dy=\frac{5}{11}\ln|y|+C.
Desprezando a constante multiplicativa (ela pode ser absorvida na constante final da solução), temos
\mu(y)=|y|^{5/11}.
Para simplificar a escrita e as derivadas, a seguir consideramos y>0 (o caso y<0 é análogo, usando a mesma |y|^{5/11}) e escrevemos \mu(y)=y^{5/11}.
Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{5/11}. Isso dá
M^*(x,y)\,dx+N^*(x,y)\,dy=0,
com
M^*(x,y)=2{,}2\,y^{5/11}=\frac{11}{5}y^{5/11}, \qquad N^*(x,y)=y^{5/11}\left(\frac{x}{y}-\operatorname{sen} y\right)=x\,y^{-6/11}-y^{5/11}\operatorname{sen} y.

Passo 5

Verificamos que a nova equação é exata:
\frac{\partial M^*}{\partial y}=\frac{11}{5}\cdot\frac{5}{11}y^{5/11-1}=y^{-6/11}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=y^{-6/11}.
Como as derivadas coincidem, a forma é exata. Logo existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^*(x,y)=\frac{11}{5}y^{5/11}.
Integramos em x:
\Phi(x,y)=\int \frac{11}{5}y^{5/11}\,dx=\frac{11}{5}x\,y^{5/11}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^*(x,y)=x\,y^{-6/11}-y^{5/11}\operatorname{sen} y.
Calculando \partial\Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{11}{5}x\cdot\frac{5}{11}y^{-6/11}+h'(y)=x\,y^{-6/11}+h'(y).
Comparando com N^*(x,y) obtemos
h'(y)=-y^{5/11}\operatorname{sen} y.
Integramos h'(y) em y:
h(y)=-\int y^{5/11}\operatorname{sen} y\,dy.
Não existe uma primitiva elementar simples para \int y^{5/11}\operatorname{sen} y\,dy em termos de funções elementares usuais; portanto mantemos a integral indefinida. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{11}{5}x\,y^{5/11}-\int y^{5/11}\operatorname{sen} y\,dy.

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, com C constante. Reescrevendo,
\frac{11}{5}x\,y^{5/11}-\int y^{5/11}\operatorname{sen} y\,dy=C.
Esse é o resultado final (com o fator integrante \mu(y)=|y|^{5/11}). Se for necessário obter uma expressão explícita para y em função de x, seria preciso avaliar a integral e, provavelmente, resolver uma equação implícita não trivial; mas para a maioria dos problemas de EDO a forma implícita acima é aceitável e esperada.

Resposta

\mu(y)=|y|^{5/11}
\dfrac{11}{5}x\,y^{5/11}-\displaystyle\int y^{5/11}\operatorname{sen} y\,dy=C

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