Nos problemas abaixo, encontre um fator integrante para a EDO não exata e resolva a equação dada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um fator integrante para a EDO não exata e, em seguida, resolver a equação. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A equação pode ser escrita na forma
. - Aqui temos
e . - O objetivo: achar um fator integrante (dependendo de
ou de , se possível) que torne a equação exata, e então integrar para obter a solução geral.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
(ou seja,
), a equação não é exata. Precisamos, portanto, de um fator integrante
tal que
seja exata.
Passo 3
Testamos fatores integrantes que dependem somente de
ou somente de
. Para
a condição é que
seja função só de
. Calculando,
que depende de
, logo não é função só de
. Então não serve.
Para
a condição é que
seja função só de
. Calculando com
, obtemos
Isto depende apenas de
. Portanto existe um fator integrante que depende só de
.
Observação numérica útil:
, assim
Passo 4
Para achar
usamos a equação diferencial logarítmica
Integramos:
Desprezando a constante multiplicativa (ela pode ser absorvida na constante final da solução), temos
Para simplificar a escrita e as derivadas, a seguir consideramos
(o caso
é análogo, usando a mesma
) e escrevemos
.
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
com
Passo 5
Verificamos que a nova equação é exata:
Como as derivadas coincidem, a forma é exata. Logo existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
onde
é uma função a determinar. Agora impomos
Calculando
a partir da expressão encontrada:
Comparando com
obtemos
Integramos
em
:
Não existe uma primitiva elementar simples para
em termos de funções elementares usuais; portanto mantemos a integral indefinida. Assim a função potencial é
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
, com
constante. Reescrevendo,
Esse é o resultado final (com o fator integrante
). Se for necessário obter uma expressão explícita para
em função de
, seria preciso avaliar a integral e, provavelmente, resolver uma equação implícita não trivial; mas para a maioria dos problemas de EDO a forma implícita acima é aceitável e esperada.