Nos problemas abaixo, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
O que é pedido: encontrar a família de soluções gerais
que satisfazem essa equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e motivo): vamos procurar soluções da forma exponencial
. Essa é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais dão de volta exponenciais, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica (o polinômio característico). Esse método é simples e rápido na prova e é o mais básico adequado aqui.
Passo 3
Assumimos
. Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter o polinômio característico:
Passo 4
Agora resolvemos o polinômio característico usando a fórmula quadrática. Para a equação
a fórmula é
. Aqui temos
,
,
. Calculamos o discriminante:
Logo
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Interpretação das raízes: obtivemos duas raízes reais distintas
Quando as raízes do polinômio característico são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se se houvesse condições iniciais).
Passo 6
Verificação rápida (mostrando por que essa forma funciona): tome
. Então
Substituindo na equação diferencial,
Como
e
satisfazem
, cada fator entre parênteses é zero, então a expressão inteira é zero. Logo a solução encontrada realmente satisfaz a equação.