Nos problemas abaixo, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
y'' - 2y' - 2y = 0.
O que é pedido: encontrar a família de soluções gerais y(x) que satisfazem essa equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e motivo): vamos procurar soluções da forma exponencial \,y(x)=e^{rx}\,. Essa é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais dão de volta exponenciais, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica (o polinômio característico). Esse método é simples e rápido na prova e é o mais básico adequado aqui.

Passo 3

Assumimos \,y(x)=e^{rx}\,. Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} - 2(r e^{rx}) - 2(e^{rx}) = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico:
r^2 - 2r - 2 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos o polinômio característico usando a fórmula quadrática. Para a equação \,ar^2+br+c=0\, a fórmula é \,r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,. Aqui temos a=1, b=-2, c=-2. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 4 + 8 = 12.
Logo
r = \frac{-(-2)\pm\sqrt{12}}{2\cdot1} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}=\\\ 2\sqrt{3}, obtemos
r = \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.

Passo 5

Interpretação das raízes: obtivemos duas raízes reais distintas
r_1 = 1 + \sqrt{3},\qquad r_2 = 1 - \sqrt{3}.
Quando as raízes do polinômio característico são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinariam-se se houvesse condições iniciais).

Passo 6

Verificação rápida (mostrando por que essa forma funciona): tome y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}. Então
y' = C_1 r_1 e^{r_1 x} + C_2 r_2 e^{r_2 x},\qquad y'' = C_1 r_1^2 e^{r_1 x} + C_2 r_2^2 e^{r_2 x}.
Substituindo na equação diferencial,
y''-2y'-2y = C_1 e^{r_1 x}(r_1^2-2r_1-2) + C_2 e^{r_2 x}(r_2^2-2r_2-2).
Como r_1 e r_2 satisfazem r^2-2r-2=0, cada fator entre parênteses é zero, então a expressão inteira é zero. Logo a solução encontrada realmente satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{(1+\sqrt{3})x}+C_{2}e^{(1-\sqrt{3})x}

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