Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+2y=3x.
O que está dado e o que se pede:
  • Dado: a equação diferencial com coeficientes dependentes de x.
  • Pedido: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa EDO para x>0 (vamos supor x>0 para trabalhar com \ln x quando necessário).
    Observação importante (do enunciado): não há condições iniciais, então vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Entendimento do tipo de equação e ideia do método (aula curta)
  • Esta EDO tem a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional), em que os coeficientes são potências de x correspondendo à ordem das derivadas.
  • Para equações de Euler–Cauchy, é uma técnica padrão tentar uma solução do tipo
y_h(x)=x^{m},
onde m é um número a determinar. Por que isso funciona? Porque ao derivar x^{m} temos potências simples de x que, ao multiplicar por x^{2}, x etc., fazem com que todos os termos fiquem com a mesma potência de x e seja possível formar uma equação algébrica para m.
Agora aplicamos isso à parte homogênea da equação (ou seja, com o lado direito igual a zero).

Passo 3

Resolver a equação homogênea
  • Consideramos a equação homogênea
x^{2}y''-2x y'+2y=0.
  • Substituindo y_h=x^{m}:
    • \displaystyle y_h'=m x^{m-1},
    • \displaystyle y_h''=m(m-1)x^{m-2}.
  • Substituindo na EDO homogênea:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}-2x\cdot m x^{m-1}+2 x^{m}=0.
  • Simplificando potências de x (todas viram x^{m}):
\bigl[m(m-1)-2m+2\bigr]x^{m}=0.
  • Como x^{m}\neq 0 para x>0, obtemos a equação característica
m(m-1)-2m+2=0.
  • Desenvolvendo:
m^{2}-m-2m+2= m^{2}-3m+2=0.
  • Resolvendo a quadrática:
m^{2}-3m+2=(m-1)(m-2)=0,
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m_{1}=1,\qquad m_{2}=2.
  • Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{2}=C_{1}x+C_{2}x^{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Estratégia para achar uma solução particular (aula sobre ressonância em Euler)
  • Agora precisamos de uma solução particular y_p da EDO completa
x^{2}y''-2x y'+2y=3x.
  • O termo do lado direito é 3x, isto é um múltiplo de x^{r} com r=1.
  • Regra prática para equações de Euler: se o lado direito for x^{r} e r não for raiz da equação característica, tentamos y_p = A x^{r}. Se r for uma raiz da equação característica com multiplicidade q, então há ressonância e devemos multiplicar por fatores de \ln x: tentar
y_p = x^{r}\bigl(P(\ln x)\bigr)
onde P é um polinômio em \ln x de grau q-1. No nosso caso, r=1 e m=1 é uma raiz simples (multiplicidade q=1), então devemos tentar
y_p(x)=A x^{1}\ln x = A x\ln x,
com constante A a determinar.
(Essa necessidade de \ln x aparece porque x^{1} já está na solução homogênea; multiplicar por \ln x dá uma função linearmente independente.)

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na EDO
  • Assuma
y_p(x)=A x\ln x.
  • Derivando (explicar cada passo):
    • Usando a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot \dfrac{1}{x}=\ln x +1.
    • Então
    y_p'=A(\ln x+1).
    • Derivando novamente:
    y_p''=A\cdot\frac{d}{dx}(\ln x+1)=A\cdot\frac{1}{x}=\frac{A}{x}.
  • Substituir na esquerda da EDO:
x^{2}y_p''-2x y_p'+2 y_p = x^{2}\cdot\frac{A}{x}-2x\cdot A(\ln x+1)+2\cdot A x\ln x.
  • Simplificar termo a termo:
    • x^{2}\cdot\frac{A}{x}=A x.
    • -2x\cdot A(\ln x+1)=-2A x\ln x -2A x.
    • 2\cdot A x\ln x=2A x\ln x.
  • Somando:
A x +(-2A x\ln x -2A x)+2A x\ln x = A x -2A x = -A x.
  • Portanto a esquerda vale -A x. A equação pede que isso seja igual a 3x, então
-A x = 3x.
  • Cancelando x (para x\neq0):
-A=3 \quad\Rightarrow\quad A=-3.
  • Assim a solução particular é
y_p(x)=-3 x\ln x.

Passo 6

Construir a solução geral e interpretar
  • A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}-3x\ln x.
  • Comentário final de apoio: esse é o procedimento padrão para equações de Euler–Cauchy com termos do tipo x^{r} no lado direito; quando r coincide com uma raiz da equação característica aparece o fator \ln x. Dá para verificar reaplicando derivadas e confirmando que a solução satisfaz a EDO (já fizemos implicitamente isso ao determinar A).

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}-3x\ln x

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