Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=3 x
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=3 x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
O que está dado e o que se pede:
- Dado: a equação diferencial com coeficientes dependentes de
. - Pedido: encontrar a solução geral
que satisfaça essa EDO para (vamos supor para trabalhar com quando necessário).
Observação importante (do enunciado): não há condições iniciais, então vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Entendimento do tipo de equação e ideia do método (aula curta)
- Esta EDO tem a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional), em que os coeficientes são potências de
correspondendo à ordem das derivadas. - Para equações de Euler–Cauchy, é uma técnica padrão tentar uma solução do tipo
onde
é um número a determinar. Por que isso funciona? Porque ao derivar
temos potências simples de
que, ao multiplicar por
,
etc., fazem com que todos os termos fiquem com a mesma potência de
e seja possível formar uma equação algébrica para
.
Agora aplicamos isso à parte homogênea da equação (ou seja, com o lado direito igual a zero).
Agora aplicamos isso à parte homogênea da equação (ou seja, com o lado direito igual a zero).
Passo 3
Resolver a equação homogênea
- Consideramos a equação homogênea
- Substituindo
: -
, -
.
-
- Substituindo na EDO homogênea:
- Simplificando potências de
(todas viram ):
- Como
para , obtemos a equação característica
- Desenvolvendo:
- Resolvendo a quadrática:
logo
- Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Estratégia para achar uma solução particular (aula sobre ressonância em Euler)
- Agora precisamos de uma solução particular
da EDO completa
- O termo do lado direito é
, isto é um múltiplo de com . - Regra prática para equações de Euler: se o lado direito for
e não for raiz da equação característica, tentamos . Se for uma raiz da equação característica com multiplicidade , então há ressonância e devemos multiplicar por fatores de : tentar
onde
é um polinômio em
de grau
. No nosso caso,
e
é uma raiz simples (multiplicidade
), então devemos tentar
com constante
a determinar.
(Essa necessidade de aparece porque
já está na solução homogênea; multiplicar por
dá uma função linearmente independente.)
(Essa necessidade de
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na EDO
- Assuma
- Derivando (explicar cada passo):
- Usando a regra do produto:
. - Então
- Derivando novamente:
- Usando a regra do produto:
- Substituir na esquerda da EDO:
- Simplificar termo a termo:
-
. -
. -
.
-
- Somando:
- Portanto a esquerda vale
. A equação pede que isso seja igual a , então
- Cancelando
(para ):
- Assim a solução particular é
Passo 6
Construir a solução geral e interpretar
- A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
- Comentário final de apoio: esse é o procedimento padrão para equações de Euler–Cauchy com termos do tipo
no lado direito; quando coincide com uma raiz da equação característica aparece o fator . Dá para verificar reaplicando derivadas e confirmando que a solução satisfaz a EDO (já fizemos implicitamente isso ao determinar ).