Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} e^{x}
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} e^{x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, com coeficientes que dependem de
. - Queremos encontrar a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada
Para equações do tipo em que cada termo tem um fator
adequado (equação de Euler–Cauchy), faz-se a tentativa
. Explico por que: se
então
e
; ao multiplicar por
os expoentes se alinham e obtemos uma equação algébrica em
. Substituindo:
Fatorando
(que para
não é zero), obtemos o polinômio característico
Simplificando:
Resolvendo a quadrática:
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
(válido para
):
Aqui
. Como temos duas soluções fundamentais
, uma maneira direta é usar o método das variações das constantes (variação de parâmetros). Vou explicar a ideia: procuramos
com
escolhidas para satisfazer certas condições que reduzem as equações; resulta nas fórmulas clássicas
onde
é o Wronskiano
. Essas fórmulas vêm da imposição conveniente que elimina as segundas derivadas de
; não preciso provar aqui, mas é bom saber de onde vêm.
Passo 4
Calculemos o Wronskiano das soluções homogêneas. Com
e
temos
logo
Passo 5
Agora calculemos as razões que entram nas integrais:
Repare como simplificou bem: os fatores
e
cancelaram convenientemente.
Passo 6
Precisamos então calcular as integrais
A segunda é imediata:
Para a primeira use integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
. Tomemos
e
. Então
e
. Assim
Aplicamos integração por partes de novo em
com
,
:
,
. Então
Substituindo de volta:
(Adiciona-se uma constante de integração, mas estas constantes serão absorvidas pelas constantes da solução homogênea quando montarmos
, então podemos omiti-las neste cálculo.)
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
Substituindo as integrais calculadas:
Colocando
em evidência e simplificando os termos em
:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 8
Finalmente a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.