Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-3xy'+3y=2x^{4}e^{x}
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, com coeficientes que dependem de x.
  • Queremos encontrar a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada
x^{2}y''-3xy'+3y=0.
Para equações do tipo em que cada termo tem um fator x^{k} adequado (equação de Euler–Cauchy), faz-se a tentativa y=x^{m}. Explico por que: se y=x^{m} então y'=m x^{m-1} e y''=m(m-1)x^{m-2}; ao multiplicar por x^{2} os expoentes se alinham e obtemos uma equação algébrica em m. Substituindo:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}-3x\cdot m x^{m-1}+3x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que para x\neq0 não é zero), obtemos o polinômio característico
m(m-1)-3m+3=0.
Simplificando:
m^{2}-4m+3=0.
Resolvendo a quadrática:
m=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm2}{2}\quad\Rightarrow\quad m=1\\ \text{ou}\\ m=3.
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=x,\qquad y_{2}(x)=x^{3}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) dividindo por x^{2} (válido para x\neq0):
y''-\frac{3}{x}y'+\frac{3}{x^{2}}y=2x^{2}e^{x}.
Aqui g(x)=2x^{2}e^{x}. Como temos duas soluções fundamentais y_{1},y_{2}, uma maneira direta é usar o método das variações das constantes (variação de parâmetros). Vou explicar a ideia: procuramos y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x) com u_{1},u_{2} escolhidas para satisfazer certas condições que reduzem as equações; resulta nas fórmulas clássicas
y_{p}=-y_{1}\int\frac{y_{2}\,g}{W}\,dx + y_{2}\int\frac{y_{1}\,g}{W}\,dx,
onde W é o Wronskiano W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}. Essas fórmulas vêm da imposição conveniente que elimina as segundas derivadas de u_{1},u_{2}; não preciso provar aqui, mas é bom saber de onde vêm.

Passo 4

Calculemos o Wronskiano das soluções homogêneas. Com y_{1}=x e y_{2}=x^{3} temos
y_{1}'=1,\qquad y_{2}'=3x^{2},
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W(y_{1},y_{2})=x\cdot 3x^{2}-1\cdot x^{3}=3x^{3}-x^{3}=2x^{3}.

Passo 5

Agora calculemos as razões que entram nas integrais:
\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}=\frac{x^{3}\cdot 2x^{2}e^{x}}{2x^{3}}=x^{2}e^{x},
\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}=\frac{x\cdot 2x^{2}e^{x}}{2x^{3}}=e^{x}.
Repare como simplificou bem: os fatores 2 e x^{3} cancelaram convenientemente.

Passo 6

Precisamos então calcular as integrais
\int x^{2}e^{x}\,dx\qquad\text{e}\qquad \int e^{x}\,dx.
A segunda é imediata:
\int e^{x}\,dx=e^{x}.
Para a primeira use integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Tomemos u=x^{2} e dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx e v=e^{x}. Assim
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} -2\int x e^{x}\,dx.
Aplicamos integração por partes de novo em \int x e^{x}\,dx com u=x, dv=e^{x}dx: du=dx, v=e^{x}. Então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Substituindo de volta:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} -2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).
(Adiciona-se uma constante de integração, mas estas constantes serão absorvidas pelas constantes da solução homogênea quando montarmos y_{p}, então podemos omiti-las neste cálculo.)

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
y_{p}=-y_{1}\int\frac{y_{2}g}{W}\,dx + y_{2}\int\frac{y_{1}g}{W}\,dx = -x\int x^{2}e^{x}\,dx + x^{3}\int e^{x}\,dx.
Substituindo as integrais calculadas:
y_{p} = -x\cdot e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + x^{3}\cdot e^{x}.
Colocando e^{x} em evidência e simplificando os termos em x^{3}:
y_{p}=e^{x}\bigl(-x(x^{2}-2x+2)+x^{3}\bigr)=e^{x}\bigl(-x^{3}+2x^{2}-2x + x^{3}\bigr).
Os termos -x^{3} e +x^{3} se cancelam, sobrando
y_{p}=e^{x}\bigl(2x^{2}-2x\bigr)=2e^{x}(x^{2}-x).

Passo 8

Finalmente a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{3}+2e^{x}(x^{2}-x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{3}+2e^{x}(x^{2}-x)

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