Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=\ln x
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=\ln x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - A equação é de segunda ordem (aparece
). - O lado direito é
, logo a equação só faz sentido para (pois está definida para ). - Precisamos encontrar a solução geral
da equação diferencial, isto é, a família de soluções que envolve duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da equação e transformação útil (explicação didática):
- A equação tem coeficientes que são potências de
multiplicando as derivadas. Uma técnica prática e muito usada é fazer a mudança de variável
e definir uma nova função
por
Vou explicar como transformar as derivadas usando essa mudança (cadeia de regras passo a passo).
Cálculo de
e
em termos de
e derivadas em
:
- Como
e , pela regra da cadeia
onde
.
- Para a segunda derivada, derivamos
em relação a . Usando que (porque ), obtemos
Como
, calculemos diretamente derivando em
e convertendo:
Resumo das fórmulas (úteis e fáceis de memorizar):
Passo 3
Substituição na equação original (transformando a EDO com coeficientes em
numa EDO com coeficientes constantes em
):
- Substituindo
e na equação dada:
- Simplificando os fatores de
:
- Reunindo termos:
- Como
, o lado direito é simplesmente . Assim obtemos a EDO com coeficientes constantes
Isso é ótimo porque agora lidamos com uma equação linear com coeficientes constantes em
, muito mais simples de resolver.
Passo 4
Resolver a equação homogênea associada para
(aula curta sobre equação característica):
- A equação homogênea é
- Procuramos soluções exponenciais
. Substituindo vem a equação característica
- Esta é uma quadrática que pode ser fatorada:
portanto temos raiz dupla
com multiplicidade
.
- Para uma raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Relacionando de volta com
: como
e
,
(Isto coincide com a forma típica que aparece em equações do tipo “equidimensionais” quando se tenta
e obtém raiz repetida
.)
Passo 5
Encontrar uma solução particular de
onde
e
são constantes a determinar.
- Calculemos as derivadas:
- Substituindo na equação:
- Reescrevendo em forma de polinômio em
:
- Igualando coeficientes para termos em
e termos constantes:
- Da primeira equação vem
dá
. - Logo a solução particular é
Comentário didático: escolhemos um polinômio porque o lado direito é um polinômio; não houve “ressonância” com a solução homogênea (que tem fator
), então a forma escolhida é válida. Se a homogênea tivesse termos polinomiais puros, precisaríamos multiplicar por potências de
, mas aqui não foi necessário.]
Passo 6
Voltar à variável
e montar a solução geral
; verificação rápida:
- A solução geral para
é soma da homogênea e da particular:
- Voltando para
usando e , obtemos
- Renomeando as constantes arbitrárias
e por e (forma usual), a solução geral é
Checagem rápida (para ficar seguro): se quiser verificar, calcular
e
e substituir na equação original dará
no lado direito — a parte
é responsável por produzir exatamente
quando inserida, conforme pode ser conferido com contas diretas.