Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea
Informações dadas:
- A equação é válida para
(porque aparecem potências de no denominador implícito ao dividir). - A tarefa é encontrar a solução geral
(com constantes arbitrárias) que satisfaça a equação em um intervalo onde a solução seja definida.
Passo 2
Motivação do método (como reconhecer e o que testar).
Quando os coeficientes são potências de com ordem coincidindo com as derivadas (aqui
com
,
com
), é natural testar uma solução do tipo
Quando os coeficientes são potências de
onde
é um número a determinar. Essa tentativa funciona porque a derivada de uma potência de
volta a ser uma potência de
, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica em
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na equação.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
:
Fatorando
(notar que
para
):
Como
no domínio, obtemos a equação característica em
:
Passo 4
Simplificar a equação característica e resolvê-la.
Expandindo:
Expandindo:
Então a equação característica é
Fatorando:
portanto as raízes são
Passo 5
Formar a solução geral a partir das raízes encontradas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas e
, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
onde
e
são constantes arbitrárias. Aplicando
e
, obtemos
Passo 6
Observações práticas e verificação rápida.
- A solução é válida para
. Como os expoentes são inteiros, a expressão é bem definida tanto para quanto para (contanto que não se permita ). - Para checar rapidamente na prova: deriva-se
e , substitui-se e verifica-se que os coeficientes de e se anulam independentemente, confirmando a solução. - Nota didática: se as raízes fossem iguais (
), a segunda solução seria . Se fossem complexas conjugadas , as soluções reais envolvem e .