Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2x\frac{dy}{dx}-12y=0.
Informações dadas:
  • A equação é válida para x\neq0 (porque aparecem potências de x no denominador implícito ao dividir).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (com constantes arbitrárias) que satisfaça a equação em um intervalo onde a solução seja definida.

Passo 2

Motivação do método (como reconhecer e o que testar).
Quando os coeficientes são potências de x com ordem coincidindo com as derivadas (aqui x^{2} com y'', x com y'), é natural testar uma solução do tipo
y=x^{r},
onde r é um número a determinar. Essa tentativa funciona porque a derivada de uma potência de x volta a ser uma potência de x, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica em r.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{r} e substituir na equação.
Derivadas:
\frac{dy}{dx}=r x^{r-1}, \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo em x^{2}y''+2xy'-12y=0:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)+2x\bigl(r x^{r-1}\bigr)-12\bigl(x^{r}\bigr)=0.
Fatorando x^{r} (notar que x^{r}\neq0 para x\neq0):
x^{r}\bigl[r(r-1)+2r-12\bigr]=0.
Como x^{r}\neq0 no domínio, obtemos a equação característica em r:
r(r-1)+2r-12=0.

Passo 4

Simplificar a equação característica e resolvê-la.
Expandindo:
r(r-1)+2r-12=r^{2}-r+2r-12=r^{2}+r-12.
Então a equação característica é
r^{2}+r-12=0.
Fatorando:
r^{2}+r-12=(r+4)(r-3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=3,\qquad r_{2}=-4.

Passo 5

Formar a solução geral a partir das raízes encontradas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é
y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aplicando r_{1}=3 e r_{2}=-4, obtemos
y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4}.

Passo 6

Observações práticas e verificação rápida.
  • A solução é válida para x\neq0. Como os expoentes são inteiros, a expressão é bem definida tanto para x>0 quanto para x<0 (contanto que não se permita x=0).
  • Para checar rapidamente na prova: deriva-se y e y'', substitui-se e verifica-se que os coeficientes de x^{3} e x^{-4} se anulam independentemente, confirmando a solução.
  • Nota didática: se as raízes fossem iguais ( r_{1}=r_{2}=r), a segunda solução seria x^{r}\ln x. Se fossem complexas conjugadas a\pm ib, as soluções reais envolvem x^{a}\cos(b\ln x) e x^{a}\sin(b\ln x).

Resposta

y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4}

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