Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução geral
). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável independente é
e a dependente é . - Aparece
, portanto devemos considerar para que o logaritmo natural esteja definido (assumiremos ). - Não há condição inicial dada, então vamos obter a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma a “separar” as variáveis
e
. A equação é
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em
à esquerda e todos os termos em
à direita. A próxima etapa é integrar ambos os lados.
Passo 3
Calculemos a integral em
:
Separe em duas integrais:
A primeira é direta:
A segunda pede integração por partes. Lembrando a fórmula da integração por partes:
escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Somando as duas integrais:
Portanto
Passo 4
Agora integramos o lado em
:
Separe:
A segunda é simples:
Para
usamos integração por partes. Tome
e
. Então
e
. Aplicando:
Multiplicando por
(porque tínhamos
):
Somando com
obtemos
Portanto
Passo 5
Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos a solução implícita:
onde
é uma constante real arbitrária e assumimos
. Essa é a solução geral implícita; não há fórmula elementar fechada para isolar
em função de
a partir de
, então deixamos a solução nesta forma implícita. Se houver uma condição inicial, basta substituir e determinar
.