Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+y \cos y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(2\log x+1)}{\sin y + y\cos y},
e pede para resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução geral y(x)). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável independente é x e a dependente é y.
  • Aparece \log x, portanto devemos considerar x>0 para que o logaritmo natural esteja definido (assumiremos x>0).
  • Não há condição inicial dada, então vamos obter a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma a “separar” as variáveis x e y. A equação é
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(2\log x+1)}{\sin y + y\cos y}.
Multiplicando ambos os lados por \sin y + y\cos y e por \mathrm{d}x, obtemos
(\sin y + y\cos y)\,\mathrm{d}y = x(2\log x+1)\,\mathrm{d}x.
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em y à esquerda e todos os termos em x à direita. A próxima etapa é integrar ambos os lados.

Passo 3

Calculemos a integral em y:
\int (\sin y + y\cos y)\,\mathrm{d}y.
Separe em duas integrais:
\int \sin y\,\mathrm{d}y + \int y\cos y\,\mathrm{d}y.
A primeira é direta:
\int \sin y\,\mathrm{d}y = -\cos y.
A segunda pede integração por partes. Lembrando a fórmula da integração por partes:
\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u,
escolhemos u=y e \mathrm{d}v=\cos y\,\mathrm{d}y. Então \mathrm{d}u=\mathrm{d}y e v=\sin y. Aplicando:
\int y\cos y\,\mathrm{d}y = y\sin y - \int \sin y\,\mathrm{d}y = y\sin y - (-\cos y) = y\sin y + \cos y.
Somando as duas integrais:
-\cos y + \bigl(y\sin y + \cos y\bigr) = y\sin y.
Portanto
\int (\sin y + y\cos y)\,\mathrm{d}y = y\sin y.

Passo 4

Agora integramos o lado em x:
\int x(2\log x+1)\,\mathrm{d}x = \int \bigl(2x\log x + x\bigr)\,\mathrm{d}x.
Separe:
\int 2x\log x\,\mathrm{d}x + \int x\,\mathrm{d}x.
A segunda é simples:
\int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}.
Para \int x\log x\,\mathrm{d}x usamos integração por partes. Tome u=\log x e \mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x. Então \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x e v=\dfrac{x^2}{2}. Aplicando:
\int x\log x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4}.
Multiplicando por 2 (porque tínhamos 2x\log x):
\int 2x\log x\,\mathrm{d}x = x^2\log x - \frac{x^2}{2}.
Somando com \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} obtemos
x^2\log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2\log x.
Portanto
\int x(2\log x+1)\,\mathrm{d}x = x^2\log x.

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos a solução implícita:
y\sin y = x^2\log x + C,
onde C é uma constante real arbitrária e assumimos x>0. Essa é a solução geral implícita; não há fórmula elementar fechada para isolar y em função de x a partir de y\sin y, então deixamos a solução nesta forma implícita. Se houver uma condição inicial, basta substituir e determinar C.

Resposta

y\sin y = x^2\log x + C

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