Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
x\left(e^{4 y}-1\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\left(x^{2}-1\right) e^{2 y}=0, x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\bigl(e^{4y}-1\bigr)\frac{dy}{dx}+\bigl(x^{2}-1\bigr)e^{2y}=0,\qquad x>0.
Informações relevantes dadas:
1. A variável independente é x e a dependente é y(x).
2. Há termos exponenciais e^{2y} e e^{4y}.
3. O domínio indicado é x>0.
4. A equação é do tipo primeira ordem e misturada em x e y; é plausível que uma substituição simplifique os exponenciais.
Nenhuma outra informação (como condição inicial) foi fornecida, então vamos buscar a solução geral implícita.

Passo 2

Escolha da substituição (motivo e aplicação):
Os termos e^{4y} e e^{2y} sugerem usar a substituição
z = e^{2y},
porque então e^{4y} = z^{2} e os exponenciais ficam polinomiais em z, o que costuma simplificar. Vou explicar a regra da cadeia necessária: diferenciando z em relação a x,
\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(e^{2y}\bigr) = 2e^{2y}\frac{dy}{dx}=2z\frac{dy}{dx}.
Assim podemos substituir \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2z}\dfrac{dz}{dx}. Essa é a peça chave para transformar a equação em uma em z e x.

Passo 3

Substituição na equação original e simplificação algébrica:
Substituindo e^{2y}=z, e^{4y}=z^{2} e \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2z}\dfrac{dz}{dx} na equação dada, obtemos
x\bigl(z^{2}-1\bigr)\left(\frac{1}{2z}\frac{dz}{dx}\right)+\bigl(x^{2}-1\bigr)z=0.
Agora multiplicamos todos os termos por 2z para limpar frações:
x\bigl(z^{2}-1\bigr)\frac{dz}{dx}+2\bigl(x^{2}-1\bigr)z^{2}=0.
Isolando \dfrac{dz}{dx},
\frac{dz}{dx} = -\frac{2\bigl(x^{2}-1\bigr)z^{2}}{x\bigl(z^{2}-1\bigr)}.

Passo 4

Separação de variáveis (explicação e cuidado com domínios):
Queremos separar as variáveis z e x. Reescrevendo,
\frac{dz}{dx}\cdot\frac{z^{2}-1}{z^{2}} = -2\frac{x^{2}-1}{x}.
Isto permite separar:
\frac{z^{2}-1}{z^{2}}\,dz = -2\frac{x^{2}-1}{x}\,dx.
Comentário sobre divisões feitas: usamos que z>0 (porque z=e^{2y}), e x>0 dado. Não dividimos por z^{2}-1 de modo que pontos onde z^{2}-1=0 (isto é, z=1 ou y=0) exigiriam atenção: se z=1 identicamente, então y=0 e, voltando à equação original, isso só satisfaz a equação em pontos onde x^{2}-1=0, ou seja x=1 (isso dá uma solução degenerada em x=1, não uma solução em intervalo). Assim a separação é válida para a solução geral com z\neq1 em intervalos; a forma final obtida também inclui a possibilidade de passar por pontos especiais conforme constante de integração.

Passo 5

Integração dos dois lados (passo a passo das integrais):
Integramos ambos os lados:
\int \frac{z^{2}-1}{z^{2}}\,dz = \int -2\frac{x^{2}-1}{x}\,dx.
Calcule a integral à esquerda: note que \dfrac{z^{2}-1}{z^{2}} = 1 - z^{-2}. Então
\int\left(1 - z^{-2}\right)\,dz = \int 1\,dz - \int z^{-2}\,dz = z + z^{-1} + C_{1}.
Calcule a integral à direita: escreva \dfrac{x^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}. Então
\int -2\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx = -2\left(\frac{x^{2}}{2}-\ln x\right)+C_{2} = -x^{2}+2\ln x + C_{2}.
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa única constante C) obtemos
z + \frac{1}{z} = -x^{2}+2\ln x + C.

Passo 6

Voltar à variável original y e interpretar a solução:
Lembrando z=e^{2y}, substituímos de volta:
e^{2y}+e^{-2y} = -x^{2}+2\ln x + C.
Podemos reorganizar escrevendo a solução implícita geral como
e^{2y}+e^{-2y}+x^{2}-2\ln x = C,
onde C é constante arbitrária. Observação: e^{2y}+e^{-2y}=2\operatorname{cosh}(2y), então outra forma elegante é
2\operatorname{cosh}(2y)+x^{2}-2\ln x = C.
Lembre-se de que x>0 no domínio. Pontos singulares como y=0 em x=1 são casos particulares já comentados.

Resposta

e^{2y}+e^{-2y}+x^{2}-2\ln x = C

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