Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes dadas:
A variável independente é
e a dependente é
.
Há termos exponenciais
e
.
O domínio indicado é
.
A equação é do tipo primeira ordem e misturada em
e
; é plausível que uma substituição simplifique os exponenciais.
Nenhuma outra informação (como condição inicial) foi fornecida, então vamos buscar a solução geral implícita.
Nenhuma outra informação (como condição inicial) foi fornecida, então vamos buscar a solução geral implícita.
Passo 2
Escolha da substituição (motivo e aplicação):
Os termos e
sugerem usar a substituição
Os termos
porque então
e os exponenciais ficam polinomiais em
, o que costuma simplificar. Vou explicar a regra da cadeia necessária: diferenciando
em relação a
,
Assim podemos substituir
. Essa é a peça chave para transformar a equação em uma em
e
.
Passo 3
Substituição na equação original e simplificação algébrica:
Substituindo ,
e
na equação dada, obtemos
Substituindo
Agora multiplicamos todos os termos por
para limpar frações:
Isolando
,
Passo 4
Separação de variáveis (explicação e cuidado com domínios):
Queremos separar as variáveis e
. Reescrevendo,
Queremos separar as variáveis
Isto permite separar:
Comentário sobre divisões feitas: usamos que
(porque
), e
dado. Não dividimos por
de modo que pontos onde
(isto é,
ou
) exigiriam atenção: se
identicamente, então
e, voltando à equação original, isso só satisfaz a equação em pontos onde
, ou seja
(isso dá uma solução degenerada em
, não uma solução em intervalo). Assim a separação é válida para a solução geral com
em intervalos; a forma final obtida também inclui a possibilidade de passar por pontos especiais conforme constante de integração.
Passo 5
Integração dos dois lados (passo a passo das integrais):
Integramos ambos os lados:
Integramos ambos os lados:
Calcule a integral à esquerda: note que
. Então
Calcule a integral à direita: escreva
. Então
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa única constante
) obtemos
Passo 6
Voltar à variável original
e interpretar a solução:
Lembrando , substituímos de volta:
Lembrando
Podemos reorganizar escrevendo a solução implícita geral como
onde
é constante arbitrária. Observação:
, então outra forma elegante é
Lembre-se de que
no domínio. Pontos singulares como
em
são casos particulares já comentados.