Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos, isto é, que encontremos a solução geral (uma relação entre
e
que seja satisfeita por todas as soluções).
As informações relevantes dadas são:
Passo 2
Verificamos se a forma diferencial é exata. Vou calcular as derivadas parciais necessárias (isso é importante: numa equação
, a condição de exatidão é
).
Calculemos
pois
é constante quando derivamos em relação a
, e
.
Agora
pois
é constante quando derivamos em relação a
, e
.
Como
a forma é exata. Boa notícia: podemos procurar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 3
Explico o método de forma simples: se
é tal que
, então a solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante. Para encontrar
integramos
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustamos usando
.
Vamos aplicar isso.
Passo 4
Integramos
em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque integramos em
).
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculamos
:
Devemos ter
. Portanto
Isso implica
, uma constante real.
Passo 6
Assim a função potencial é
A solução geral implícita é
constante; absorvendo
numa constante única
, obtemos
onde
é a constante de integração (real). Se quisermos resolver explicitamente para
, isolamos
:
desde que
e o lado direito seja positivo; então
Note as restrições de domínio: para a forma explícita é preciso
e
. A forma implícita
já descreve a família de curvas solução sem precisar especificar esses detalhes imediatamente.