Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
\left(e^{y}+1\right) \cos x \mathrm{~d} x+e^{y} \sin x \mathrm{~d} y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(e^{y}+1\right)\cos x\,\mathrm{d}x + e^{y}\sin x\,\mathrm{d}y = 0
e pede que a resolvamos, isto é, que encontremos a solução geral (uma relação entre x e y que seja satisfeita por todas as soluções).
As informações relevantes dadas são:
M(x,y) = \left(e^{y}+1\right)\cos x, \qquad N(x,y) = e^{y}\sin x.

Passo 2

Verificamos se a forma diferencial é exata. Vou calcular as derivadas parciais necessárias (isso é importante: numa equação M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0, a condição de exatidão é \partial M/\partial y=\partial N/\partial x).
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((e^{y}+1)\cos x\bigr) = e^{y}\cos x,
pois \cos x é constante quando derivamos em relação a y, e \mathrm{d}/\mathrm{d}y(e^{y}+1)=e^{y}.
Agora
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\cos x,
pois e^{y} é constante quando derivamos em relação a x, e \mathrm{d}/\mathrm{d}x(\sin x)=\cos x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=e^{y}\cos x,
a forma é exata. Boa notícia: podemos procurar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 3

Explico o método de forma simples: se \psi(x,y) é tal que \mathrm{d}\psi=\psi_x\,\mathrm{d}x+\psi_y\,\mathrm{d}y=M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y, então a solução geral é dada implicitamente por
\psi(x,y)=C,
onde C é constante. Para encontrar \psi integramos M em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustamos usando N.
Vamos aplicar isso.

Passo 4

Integramos M em relação a x:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,\mathrm{d}x = \int (e^{y}+1)\cos x\,\mathrm{d}x.
Aqui e^{y}+1 é constante em relação a x, então
\psi(x,y)=(e^{y}+1)\int \cos x\,\mathrm{d}x = (e^{y}+1)\sin x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque integramos em x).

Passo 5

Agora usamos a condição \psi_y=N para determinar h(y). Calculamos \psi_y:
\psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((e^{y}+1)\sin x + h(y)\bigr) = e^{y}\sin x + h'(y).
Devemos ter \psi_y=N=e^{y}\sin x. Portanto
e^{y}\sin x + h'(y) = e^{y}\sin x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Isso implica h(y)=C_1, uma constante real.

Passo 6

Assim a função potencial é
\psi(x,y)=(e^{y}+1)\sin x + C_1.
A solução geral implícita é \psi(x,y)= constante; absorvendo C_1 numa constante única C, obtemos
(e^{y}+1)\sin x = C,
onde C é a constante de integração (real). Se quisermos resolver explicitamente para y, isolamos e^{y}:
e^{y}=\frac{C}{\sin x}-1,
desde que \sin x\neq 0 e o lado direito seja positivo; então
y=\ln\!\left(\frac{C}{\sin x}-1\right).
Note as restrições de domínio: para a forma explícita é preciso \sin x\neq 0 e \dfrac{C}{\sin x}-1>0. A forma implícita (e^{y}+1)\sin x=C já descreve a família de curvas solução sem precisar especificar esses detalhes imediatamente.

Resposta

(e^{y}+1)\sin x = C
y=\ln\!\left(\dfrac{C}{\sin x}-1\right)

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