Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}
e pede a solução geral y(x). Ou seja, encontrar todas as funções y (com uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade para x no domínio considerado.

Passo 2

Observando a equação, o membro direito depende apenas de x (não depende de y). Quando uma equação tem a forma
\frac{d y}{d x}=f(x),
a solução geral é obtida integrando ambos os lados em relação a x. Em palavras: derivada de y é f(x) => y é uma primitiva (antiderivada) de f(x) mais uma constante. Assim vale a fórmula
y(x)=\int f(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando isso ao caso dado, temos
y(x)=\int \frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}\,dx + C.

Passo 4

Para integrar convenientemente, faço uma simplificação algébrica do integrando. Reescrevo 2x^{2} como 2(x^{2}+1)-2; assim
\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{2(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1}=2-\frac{2}{x^{2}+1}.
Essa manipulação é útil porque transforma o integrando numa soma de termos fáceis de integrar.

Passo 5

Agora integro termo a termo:
\int \left(2-\frac{2}{x^{2}+1}\right)dx = \int 2\,dx -2\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
  • A primitiva de 2 é 2x, pois \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • A primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x, porque \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
\int \frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = 2x -2\arctan x + \text{constante}.
Incluindo a constante de integração C, a solução geral fica
y(x)=2x-2\arctan x + C,\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução obtida,
\frac{d}{dx}\bigl(2x-2\arctan x + C\bigr)=2 -2\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{2x^{2}}{x^{2}+1},
que coincide com o lado direito da equação original. Está tudo certo. Observação sobre domínio: \arctan x é definida para todo x\in\mathbb{R}, logo a solução vale para todos os reais.

Resposta

y(x)=2x-2\arctan x + C

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