Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Ou seja, encontrar todas as funções
(com uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade para
no domínio considerado.
Passo 2
Observando a equação, o membro direito depende apenas de
(não depende de
). Quando uma equação tem a forma
a solução geral é obtida integrando ambos os lados em relação a
. Em palavras: derivada de
é
=>
é uma primitiva (antiderivada) de
mais uma constante. Assim vale a fórmula
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando isso ao caso dado, temos
Passo 4
Para integrar convenientemente, faço uma simplificação algébrica do integrando. Reescrevo
como
; assim
Essa manipulação é útil porque transforma o integrando numa soma de termos fáceis de integrar.
Passo 5
Agora integro termo a termo:
- A primitiva de
é , pois . - A primitiva de
é , porque .
Portanto
Incluindo a constante de integração
, a solução geral fica
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução obtida,
que coincide com o lado direito da equação original. Está tudo certo. Observação sobre domínio:
é definida para todo
, logo a solução vale para todos os reais.