Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x se x \in[-\pi, 0) e f(x)=0 se x \in[0, \pi) ; f(x+2 L)=f(x).
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi (nota: a função está definida em [-\pi,\pi), então L=\pi e o período é 2\pi). Os dados explícitos são:
Para x\in[-\pi,0) vale f(x)=x.
Para x\in[0,\pi) vale f(x)=0.
A função é periódica com período 2\pi: f(x+2\pi)=f(x).
O que o enunciado pede:
Encontrar a série de Fourier (coeficientes e expressão da série) dessa função periódica definida acima.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da série de Fourier para funções periódicas de período 2\pi. A série (forma trigonométrica) tem a expressão
a_0/2 é o termo constante (média da função no período).
a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx).
b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(nx).
Como f é dada por partes, todas as integrais nas fórmulas acima se reduzem à integral em [-\,\pi,0) (em [0,\pi) a função é zero).
Também vou usar integração por partes para as integrais com x\cos(nx) e x\sin(nx). A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
e serve para reduzir integrais do tipo \int x\cdot função trigonométrica.
Aplicamos integração por partes à integral I_n=\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx. Escolhendo u=x e dv=\cos(nx)\,dx, temos du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
Avalie os termos: no ponto 0 o termo de borda é 0. No ponto -\pi o termo de borda é -\bigl(-\pi\cos(-n\pi)\bigr)/n = (\pi/n)\cos(n\pi) = (\pi/n)(-1)^n. Então a diferença de borda F(0)-F(-\pi) é 0-(\pi/n)(-1)^n = -(\pi/n)(-1)^n.
Podemos também escrever a parte com a_n só para n ímpares (n=2k-1), já que a_n=0 para n par. Para n ímpar (n=2k-1), a_n=\dfrac{2}{\pi n^2}. Assim uma forma alternativa é