Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x se x \in[-\pi, 0) e f(x)=0 se x \in[0, \pi) ; f(x+2 L)=f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi (nota: a função está definida em [-\pi,\pi), então L=\pi e o período é 2\pi). Os dados explícitos são:
  • Para x\in[-\pi,0) vale f(x)=x.
  • Para x\in[0,\pi) vale f(x)=0.
  • A função é periódica com período 2\pi: f(x+2\pi)=f(x).
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a série de Fourier (coeficientes e expressão da série) dessa função periódica definida acima.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da série de Fourier para funções periódicas de período 2\pi. A série (forma trigonométrica) tem a expressão
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicação intuitiva rápida:
  • a_0/2 é o termo constante (média da função no período).
  • a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx).
  • b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(nx).
    Como f é dada por partes, todas as integrais nas fórmulas acima se reduzem à integral em [-\,\pi,0) (em [0,\pi) a função é zero).
Também vou usar integração por partes para as integrais com x\cos(nx) e x\sin(nx). A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
e serve para reduzir integrais do tipo \int x\cdot função trigonométrica.

Passo 3

Calcular a_0.
Usamos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} x\,dx + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} 0\,dx.
A segunda integral é zero. Para a primeira:
\int_{-\pi}^{0} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-\pi}^{0}=0-\frac{\pi^2}{2}=-\frac{\pi^2}{2}.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi^2}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=-\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1.
Começamos com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx,
pois f(x)=0 em [0,\pi).
Aplicamos integração por partes à integral I_n=\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx. Escolhendo u=x e dv=\cos(nx)\,dx, temos du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_n=\left.\frac{x\sin(nx)}{n}\right|_{-\pi}^{0}-\int_{-\pi}^{0}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
A segunda integral dá
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{-\pi}^{0}=-\frac{\cos(0)-\cos(-n\pi)}{n}=-\frac{1-(-1)^n}{n}.
Voltando,
I_n=\frac{0\cdot\sin(0)-(-\pi)\sin(-n\pi)/n}{1} - \frac{1}{n}\left(-\frac{1-(-1)^n}{n}\right).
Note que \sin(-n\pi)=0, então o termo de borda é zero, e sobra
I_n=\frac{1}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}I_n=\frac{1}{\pi n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Interpretação por paridade:
  • Se n é par então (-1)^n=1 e a_n=0.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e a_n=\dfrac{2}{\pi n^2}.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1.
Começamos com
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx.
Defina J_n=\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx. Usamos integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx, então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
J_n=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{-\pi}^{0} + \int_{-\pi}^{0}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx.
Avalie os termos: no ponto 0 o termo de borda é 0. No ponto -\pi o termo de borda é -\bigl(-\pi\cos(-n\pi)\bigr)/n = (\pi/n)\cos(n\pi) = (\pi/n)(-1)^n. Então a diferença de borda F(0)-F(-\pi) é 0-(\pi/n)(-1)^n = -(\pi/n)(-1)^n.
A segunda integral é
\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{-\pi}^{0}=\frac{\sin(0)-\sin(-n\pi)}{n}=0,
pois \sin(-n\pi)=0. Logo toda a contribuição de integral interna é zero, e ficamos com
J_n= -\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Dividindo por \pi,
b_n=\frac{1}{\pi}J_n = -\frac{1}{n}(-1)^n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Assim
b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\qquad (n\ge1).

Passo 6

Montar a série de Fourier completa usando os coeficientes encontrados.
Recordando:
\frac{a_0}{2}=-\frac{\pi}{4},\qquad a_n=\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2},\qquad b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Logo a série é
f(x)\sim -\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx)+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right).
Podemos também escrever a parte com a_n só para n ímpares ( n=2k-1), já que a_n=0 para n par. Para n ímpar ( n=2k-1), a_n=\dfrac{2}{\pi n^2}. Assim uma forma alternativa é
f(x)\sim -\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi(2k-1)^2}\cos\bigl((2k-1)x\bigr).
Ambas são equivalentes; a primeira é a forma compacta válida para todos os n.

Resposta

f(x)\sim -\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx)+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right).

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