Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0.
O método eficiente aqui é assumir uma solução do tipo y=e^{r x} e usar a equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação, obtemos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4,
logo as raízes são
r = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.

Passo 4

Quando as raízes são complexas conjugadas r = \alpha \pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha = 1 e \beta = 1, portanto

Resposta

y(x) = e^{x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).

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