Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9\,y'' + 6\,y' + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
9\,r^2 + 6\,r + 1 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0,
logo há raiz dupla.

Passo 3

A única raiz é
r = -\frac{6}{2\cdot 9} = -\frac{1}{3},
portanto a solução geral, no caso de raiz dupla, é
y(x) = C_{1}\,e^{-x/3} \;+\; C_{2}\,x\,e^{-x/3}.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C_{1} \cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1} = 0.
Em seguida, derivamos:
y'(x) = C_{1}\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)e^{-x/3} + C_{2}\,e^{-x/3} + C_{2}\,x\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)e^{-x/3}.
Avalia em x=0:
y'(0) = -\tfrac{C_{1}}{3} + C_{2} = 0 + C_{2} = C_{2} = 1.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = x\,e^{-x/3}.

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