Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea linear de coeficientes constantes
y'' + 6y' + 13y = 0.
O conteúdo abordado é a técnica da equação característica para EDOs lineares.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^2 + 6r + 13 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação característica:
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot13 = 36 - 52 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i.

Passo 4

Para raízes da forma r = a \pm bi, a solução geral é
y(x) = e^{ax}\bigl(C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx)\bigr).
Aqui a=-3 e b=2.

Resposta

y(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

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