Resolva as seguintes equações de ordem alta:
y^{\mathrm{V}}-10 y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes
y^{(5)} - 10\,y^{(3)} + 9\,y' = 0.
O conteúdo é a técnica de equações de Euler com polinômio característico, em que buscamos raízes de um polinômio para montar a solução geral.

Passo 2

Vamos escrever o polinômio característico substituindo y^{(k)} por r^k. Assim obtemos
r^5 - 10\,r^3 + 9\,r = 0.

Passo 3

Fatoramos r em evidência:
r\bigl(r^4 - 10\,r^2 + 9\bigr)=0.
Em seguida, definimos u = r^2 e resolvemos
u^2 - 10\,u + 9 = 0
cuja solução é u = 1 ou u = 9. Logo:
r^2 = 1 \implies r = \pm 1, \quad r^2 = 9 \implies r = \pm 3,
além da raiz r=0.

Passo 4

Como as cinco raízes são reais e distintas 0,1,-1,3,-3, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_{1} + C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x} + C_{4}e^{3x} + C_{5}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x} + C_{4}e^{3x} + C_{5}e^{-3x}.

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