Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:
R.
Em todas as soluções,
.
R.
Em todas as soluções,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem por integrações sucessivas:
. O conteúdo envolve EDOs de 2ª ordem e primitivas de funções usuais, então precisamos da integral de
e depois da integral de
.
Passo 2
Integrando
em relação a
, obtemos
Passo 3
Para achar
, precisamos calcular
. Usamos integração por partes com
e
, então
e
. Pela fórmula
:
Para
fazemos a substituição
,
, resultando em
. Logo:
Passo 4
Agora juntamos tudo: como
, temos
Resposta
y(x)=x\operatorname{arctg}x-\frac{\ln(1+x^2)}{2}+C_1x+C_2