Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:
d^2 yd x^2=11+x^2
R. y(x)=x arctg x-ln (1+x^2)2+C1 x+C2
Em todas as soluções, C1, C2, C3 in R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem por integrações sucessivas: d^2ydx^2=11+x^2. O conteúdo envolve EDOs de 2ª ordem e primitivas de funções usuais, então precisamos da integral de 11+x^2 e depois da integral de arctgx.

Passo 2

Integrando d^2ydx^2=11+x^2 em relação a x, obtemos
dydx=integral11+x^2,dx=arctgx+C1 Aqui usamos que integral11+x^2dx=arctgx, e C1 é constante de integração.

Passo 3

Para achar y(x), precisamos calcular integralarctgx,dx. Usamos integração por partes com
u=arctgx e dv=dx, então
du=11+x^2dx e v=x. Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du:
integralarctgx,dx=xarctgx-integralx1+x^2,dx
Para integralx1+x^2dx fazemos a substituição t=1+x^2, dt=2x,dx, resultando em 12ln(1+x^2). Logo:
integralarctgx,dx=xarctgx-12ln(1+x^2)+C

Passo 4

Agora juntamos tudo: como y(x)=integrall(arctgx+C1r)dx, temos
y(x)=xarctgx-12ln(1+x^2)+C1x+C2, com C1,C2in R.

Resposta

y(x)=x\operatorname{arctg}x-\frac{\ln(1+x^2)}{2}+C_1x+C_2

Exercícios relacionados