Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
\left(1+x^{3}\right) \mathrm{d} y-x^{2} y \mathrm{~d} x=0, y(1)=2.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
(1+x^{3})\,\mathrm{d}y - x^{2}y\,\mathrm{d}x = 0,\quad y(1)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial y(1)=2.

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial na forma explícita \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = \cdots. Dividindo ambos os lados por \mathrm{d}x e por 1+x^{3} (assumindo 1+x^3\neq0 no intervalo considerado), obtemos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x^{2}y}{1+x^{3}}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis: colocamos todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Dividindo por y e multiplicando por \mathrm{d}x, temos
\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,\mathrm{d}x.
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação de forma que um lado dependa só de y e o outro só de x, permitindo integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo:
\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \ln|y| + C_{1}.
Do lado direito precisamos calcular \int \dfrac{x^{2}}{1+x^{3}}\,\mathrm{d}x. Fazemos a substituição u = 1+x^{3}. Então \mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x, logo x^{2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u. Assim
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{3}\frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\ln|u| + C_{2} = \frac{1}{3}\ln|1+x^{3}| + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas integrais (podemos reunir as constantes de integração numa só constante C), obtemos
\ln|y| = \frac{1}{3}\ln|1+x^{3}| + C.
Agora exponenciamos ambos os lados. Lembrando que e^{\ln|y|}=|y| e que e^{C} é uma constante positiva que chamaremos de C', temos
|y| = C' (1+x^{3})^{1/3}.
Para permitir constantes reais (positivas ou negativas) escrevemos de forma mais simples
y = C (1+x^{3})^{1/3},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 e y=2 na solução geral:
2 = C(1+1^{3})^{1/3} = C\cdot 2^{1/3}.
Logo
C = \frac{2}{2^{1/3}} = 2^{1 - 1/3} = 2^{2/3}.
Portanto a solução particular é
y(x) = 2^{2/3}(1+x^{3})^{1/3}.
Podemos simplificar usando 2^{2/3} = 4^{1/3}, obtendo uma forma alternativa conveniente:
y(x) = \bigl(4(1+x^{3})\bigr)^{1/3}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a solução y(x)=C(1+x^{3})^{1/3} temos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = C\cdot\frac{1}{3}(1+x^{3})^{-2/3}\cdot 3x^{2}=Cx^{2}(1+x^{3})^{-2/3}.
Multiplicando ambos os lados por 1+x^{3} e comparando com x^{2}y confirma-se que a solução satisfaz a equação original. Além disso, com C=2^{2/3} a condição inicial é satisfeita.

Resposta

\;y(x)=2^{2/3}(1+x^{3})^{1/3}

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