Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Especificamente:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial
.
Passo 2
Vamos escrever a equação diferencial na forma explícita
. Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
no intervalo considerado), obtemos
Passo 3
Agora separamos as variáveis: colocamos todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Dividindo por
e multiplicando por
, temos
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação de forma que um lado dependa só de
e o outro só de
, permitindo integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Integramos os dois lados. Do lado esquerdo:
Do lado direito precisamos calcular
. Fazemos a substituição
. Então
, logo
. Assim
Passo 5
Igualando as duas integrais (podemos reunir as constantes de integração numa só constante
), obtemos
Agora exponenciamos ambos os lados. Lembrando que
e que
é uma constante positiva que chamaremos de
, temos
Para permitir constantes reais (positivas ou negativas) escrevemos de forma mais simples
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na solução geral:
Logo
Portanto a solução particular é
Podemos simplificar usando
, obtendo uma forma alternativa conveniente:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a solução
temos
Multiplicando ambos os lados por
e comparando com
confirma-se que a solução satisfaz a equação original. Além disso, com
a condição inicial é satisfeita.