Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x^-1 y^prime+2 y=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x^-1y'(x)+2,y(x)=3,
onde o conteúdo principal é o método do fator integrante para ODEs lineares.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma-padrão
y'(x)+P(x),y(x)=Q(x)
Multiplicando ambos os lados por x (pressupondo xneq0), obtemos
y'(x)+2x,y(x)=3x,
logo
P(x)=2x, Q(x)=3x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral 2x,dxr) =expl(x^2r)

Passo 4

Multiplicando a ODE por mu(x) fica
e^x^2y'(x)+2x,e^x^2y(x) =ddxl(e^x^2y(x)r) =3x,e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^2y(x) =integral 3x,e^x^2,dx
fazendo u=x^2Rightarrow du=2x,dx, temos
integral 3x,e^x^2,dx =32integral e^u,du =32e^u+C =32e^x^2+C
Assim,
e^x^2y(x)=32e^x^2+C Longrightarrow y(x)=tfrac32e^x^2+Ce^x^2 =32+C,e^-x^2

Resposta

y(x)=32+C,e^-x^2, CinR

Exercícios relacionados